蘊涵代數(shù)與BCK代數(shù).pdf

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1、第卷第期模糊系統(tǒng)與數(shù)學年月文章編號蘊涵代數(shù)與代數(shù)朱怡權肇慶學院數(shù)學系廣東肇慶摘要系統(tǒng)研究蘊涵代數(shù)與代數(shù)之間的關系給出代數(shù)與代數(shù)之間的聯(lián)系建立正則代數(shù)和對合代數(shù)的對偶代數(shù)關鍵詞正則代數(shù)代數(shù)格蘊涵代數(shù)代數(shù)中圖分類號文獻標識碼預備知識代數(shù)代數(shù)代數(shù)和格蘊涵代數(shù)等都是從不同的背景所引入的邏輯代數(shù)系統(tǒng)它們之間的關系在文獻中都有所討論本文中將進一步系統(tǒng)地研究代數(shù)與代數(shù)之間的關系并給出了代數(shù)與代數(shù)間的又一種聯(lián)系此外著眼于代數(shù)和代數(shù)自身的內(nèi)部結構還建立了正則代數(shù)與有界交換代數(shù)的對偶代數(shù)為方便起見本節(jié)先給出有關的一些定義和基本結果以備后面直接引用定義一個型代數(shù)稱為代數(shù)若有在代數(shù)中下列各式成立代數(shù)的自然偏序關系記

2、為即顯然是的最小元若有最大元記為則稱代數(shù)為有界的并稱為的單位元在有界代數(shù)中令若則稱為對合代數(shù)從文知若為對合代數(shù)則收稿日期基金項目湖北省教育廳自然科學基金重點資助項目作者簡介朱怡權男肇慶學院數(shù)學系教授研究方向軟代數(shù)模糊系統(tǒng)與數(shù)學年關于交換代數(shù)和正定關聯(lián)代數(shù)的定義見文并且由文得知代數(shù)是關聯(lián)的當且僅當是交換和正定關聯(lián)的又易知有界交換代數(shù)必為對合代數(shù)定義一個型代數(shù)稱為蘊涵代數(shù)簡稱為代數(shù)如果有其中在代數(shù)中令稱為的偽補若則稱為正則代數(shù)稱滿足條件的代數(shù)為交換代數(shù)稱滿足條件的代數(shù)為關聯(lián)代數(shù)從文得知代數(shù)具有性質(zhì)而在正則代數(shù)中還有從而可得又對于代數(shù)是一個偏序集這里定義為此外交換代數(shù)必為正則代數(shù)這是因為在中令得關

3、于格蘊涵代數(shù)代數(shù)的定義及其基本性質(zhì)參見文獻代數(shù)與代數(shù)的關系文給出了代數(shù)與代數(shù)間的下列聯(lián)系定理設為代數(shù)令則是有界代數(shù)為單位元反之設為有界代數(shù)為單位元令則為代數(shù)進一步我們不難得到定理設為代數(shù)為有界代數(shù)為單位元則證明設分別如定理所述則有由此可知類似可證注記設分別為代數(shù)和代數(shù)中的自然偏序關系文指出因而與與有與分別是相互對偶的并且在這種意義下代數(shù)界正定關聯(lián)代數(shù)也是互為對偶的在代數(shù)為正則代數(shù)為對合的條件下我們還可以定義一種新的運算蘊涵運算使其具有保序性由于不致引起混淆以下仍采用上面的記號定理設是正則代數(shù)令則是對合代數(shù)且證明首先利用正則代數(shù)的性質(zhì)來證明滿足代數(shù)的公理第期朱怡權蘊涵代數(shù)與代數(shù)設則故從而故綜上

4、所述的單位是一個代數(shù)又即為元而于是為對合代數(shù)此外我們有因此定理得證定理設是對合代數(shù)令則是正則代數(shù)且證明利用對合代數(shù)的性質(zhì)我們有以上證明了是一個代數(shù)其中類似于定理的證明可得模糊系統(tǒng)與數(shù)學年還是正則的因此定理設是一個正則代數(shù)是一個對合代數(shù)則證明在與中同理可證與中的運算也是一致的證畢推論在定理中若是交換代數(shù)則是交換代數(shù)在定理中若是有界交換代數(shù)則是交換代數(shù)證明若是交換代數(shù)則是正則代數(shù)從而由定理得為對合代數(shù)進一步因為有所以再由的對合性得在此式中以分別代替可得到為有界交換代數(shù)即類似地可證明為有界交換代數(shù)時為交換代數(shù)推論獲證推論若為正則代數(shù)則為有界關聯(lián)代數(shù)若為有界關聯(lián)代數(shù)則為正則代數(shù)證明由文中的定理和定理

5、得知代數(shù)為代數(shù)滿足滿足若為正則代數(shù)則由定理知是一個有界代數(shù)又是有界因此關聯(lián)代數(shù)其次若為有界關聯(lián)代數(shù)則由定理知為正則代數(shù)又從而為正則代數(shù)證畢實際上正則代數(shù)即是本文前面定義的關聯(lián)代數(shù)命題設則為正則代數(shù)為關聯(lián)代數(shù)證明文中的引理已證明正則代數(shù)必為關聯(lián)代數(shù)反之設為關聯(lián)代數(shù)我們來證明為正則代數(shù)為此先證明關聯(lián)代數(shù)是交換代數(shù)事實上由得又由文中的定理得從而由以上最后兩式及可以得到互換和得這就證明了即為交換代數(shù)由此得知是正則代數(shù)且有第期朱怡權蘊涵代數(shù)與代數(shù)因此由文中的定理得為代數(shù)注記對于有界代數(shù)與代數(shù)有界正定關聯(lián)代數(shù)與代數(shù)相應于定理和定理的結論是否仍然成立尚不得而知對于同一個非平凡的正則代數(shù)定理和定理中所構造出

6、來的兩個代數(shù)是不同的因為并非對所有都成立如時同樣地對于同一個非平凡的對合代數(shù)定理和定理中所構造出來的兩個代數(shù)也是不同的但是它們分別是同構和同構的定理設是正則代數(shù)是對合代數(shù)以和分別表示定理和定理定理中的代數(shù)代數(shù)則同構同構證明令則由的正則性易知是一個雙射又這里與分別表示定理和定理中的運算因此是一個同構映射而其次令則由的對合性得是一個雙射又與其中分別表示定理和定理中的蘊涵運算故為一個同構映射從而代數(shù)與代數(shù)的對偶代數(shù)本節(jié)討論代數(shù)與代數(shù)的對偶結構定理設為對合代數(shù)為單位元令則為對合代數(shù)為單位元并且同構證明由定理定理定理可設正則代數(shù)使得這里并且即另一方面對于這里的正則代數(shù)按定理的方法也可構造一個有界代數(shù)為

7、單位元且有于是從而由定理得同構模糊系統(tǒng)與數(shù)學年因為是對合的所以是對合代數(shù)證畢完全類似地我們可得到下列定理設為正則代數(shù)令則為正則代數(shù)并且同構注記定理和定理分別刻畫了對合代數(shù)與正則代數(shù)內(nèi)部結構的特征我們稱定理定理中的兩個代數(shù)代數(shù)互為對偶代數(shù)因為不難看出它們中的序關系是互為對偶的還不難得知類似的結論對于有界交換關聯(lián)代數(shù)和交換關聯(lián)代數(shù)也是成立的代數(shù)與代數(shù)的關系文分別建立了正則代數(shù)與代數(shù)格蘊涵代數(shù)格蘊涵代數(shù)之間的聯(lián)系在