蘊(yùn)涵代數(shù)與BCK代數(shù).pdf

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1、第卷第期模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)年月文章編號(hào)蘊(yùn)涵代數(shù)與代數(shù)朱怡權(quán)肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)系廣東肇慶摘要系統(tǒng)研究蘊(yùn)涵代數(shù)與代數(shù)之間的關(guān)系給出代數(shù)與代數(shù)之間的聯(lián)系建立正則代數(shù)和對(duì)合代數(shù)的對(duì)偶代數(shù)關(guān)鍵詞正則代數(shù)代數(shù)格蘊(yùn)涵代數(shù)代數(shù)中圖分類(lèi)號(hào)文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼預(yù)備知識(shí)代數(shù)代數(shù)代數(shù)和格蘊(yùn)涵代數(shù)等都是從不同的背景所引入的邏輯代數(shù)系統(tǒng)它們之間的關(guān)系在文獻(xiàn)中都有所討論本文中將進(jìn)一步系統(tǒng)地研究代數(shù)與代數(shù)之間的關(guān)系并給出了代數(shù)與代數(shù)間的又一種聯(lián)系此外著眼于代數(shù)和代數(shù)自身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)還建立了正則代數(shù)與有界交換代數(shù)的對(duì)偶代數(shù)為方便起見(jiàn)本節(jié)先給出有關(guān)的一些定義和基本結(jié)果以備后面直接引用定義一個(gè)型代數(shù)稱(chēng)為代數(shù)若有在代數(shù)中下列各式成立代數(shù)的自然偏序關(guān)系記

2、為即顯然是的最小元若有最大元記為則稱(chēng)代數(shù)為有界的并稱(chēng)為的單位元在有界代數(shù)中令若則稱(chēng)為對(duì)合代數(shù)從文知若為對(duì)合代數(shù)則收稿日期基金項(xiàng)目湖北省教育廳自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目作者簡(jiǎn)介朱怡權(quán)男肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)系教授研究方向軟代數(shù)模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)年關(guān)于交換代數(shù)和正定關(guān)聯(lián)代數(shù)的定義見(jiàn)文并且由文得知代數(shù)是關(guān)聯(lián)的當(dāng)且僅當(dāng)是交換和正定關(guān)聯(lián)的又易知有界交換代數(shù)必為對(duì)合代數(shù)定義一個(gè)型代數(shù)稱(chēng)為蘊(yùn)涵代數(shù)簡(jiǎn)稱(chēng)為代數(shù)如果有其中在代數(shù)中令稱(chēng)為的偽補(bǔ)若則稱(chēng)為正則代數(shù)稱(chēng)滿足條件的代數(shù)為交換代數(shù)稱(chēng)滿足條件的代數(shù)為關(guān)聯(lián)代數(shù)從文得知代數(shù)具有性質(zhì)而在正則代數(shù)中還有從而可得又對(duì)于代數(shù)是一個(gè)偏序集這里定義為此外交換代數(shù)必為正則代數(shù)這是因?yàn)樵谥辛畹藐P(guān)

3、于格蘊(yùn)涵代數(shù)代數(shù)的定義及其基本性質(zhì)參見(jiàn)文獻(xiàn)代數(shù)與代數(shù)的關(guān)系文給出了代數(shù)與代數(shù)間的下列聯(lián)系定理設(shè)為代數(shù)令則是有界代數(shù)為單位元反之設(shè)為有界代數(shù)為單位元令則為代數(shù)進(jìn)一步我們不難得到定理設(shè)為代數(shù)為有界代數(shù)為單位元?jiǎng)t證明設(shè)分別如定理所述則有由此可知類(lèi)似可證注記設(shè)分別為代數(shù)和代數(shù)中的自然偏序關(guān)系文指出因而與與有與分別是相互對(duì)偶的并且在這種意義下代數(shù)界正定關(guān)聯(lián)代數(shù)也是互為對(duì)偶的在代數(shù)為正則代數(shù)為對(duì)合的條件下我們還可以定義一種新的運(yùn)算蘊(yùn)涵運(yùn)算使其具有保序性由于不致引起混淆以下仍采用上面的記號(hào)定理設(shè)是正則代數(shù)令則是對(duì)合代數(shù)且證明首先利用正則代數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明滿足代數(shù)的公理第期朱怡權(quán)蘊(yùn)涵代數(shù)與代數(shù)設(shè)則故從而故綜上

4、所述的單位是一個(gè)代數(shù)又即為元而于是為對(duì)合代數(shù)此外我們有因此定理得證定理設(shè)是對(duì)合代數(shù)令則是正則代數(shù)且證明利用對(duì)合代數(shù)的性質(zhì)我們有以上證明了是一個(gè)代數(shù)其中類(lèi)似于定理的證明可得模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)年還是正則的因此定理設(shè)是一個(gè)正則代數(shù)是一個(gè)對(duì)合代數(shù)則證明在與中同理可證與中的運(yùn)算也是一致的證畢推論在定理中若是交換代數(shù)則是交換代數(shù)在定理中若是有界交換代數(shù)則是交換代數(shù)證明若是交換代數(shù)則是正則代數(shù)從而由定理得為對(duì)合代數(shù)進(jìn)一步因?yàn)橛兴栽儆傻膶?duì)合性得在此式中以分別代替可得到為有界交換代數(shù)即類(lèi)似地可證明為有界交換代數(shù)時(shí)為交換代數(shù)推論獲證推論若為正則代數(shù)則為有界關(guān)聯(lián)代數(shù)若為有界關(guān)聯(lián)代數(shù)則為正則代數(shù)證明由文中的定理和定理

5、得知代數(shù)為代數(shù)滿足滿足若為正則代數(shù)則由定理知是一個(gè)有界代數(shù)又是有界因此關(guān)聯(lián)代數(shù)其次若為有界關(guān)聯(lián)代數(shù)則由定理知為正則代數(shù)又從而為正則代數(shù)證畢實(shí)際上正則代數(shù)即是本文前面定義的關(guān)聯(lián)代數(shù)命題設(shè)則為正則代數(shù)為關(guān)聯(lián)代數(shù)證明文中的引理已證明正則代數(shù)必為關(guān)聯(lián)代數(shù)反之設(shè)為關(guān)聯(lián)代數(shù)我們來(lái)證明為正則代數(shù)為此先證明關(guān)聯(lián)代數(shù)是交換代數(shù)事實(shí)上由得又由文中的定理得從而由以上最后兩式及可以得到互換和得這就證明了即為交換代數(shù)由此得知是正則代數(shù)且有第期朱怡權(quán)蘊(yùn)涵代數(shù)與代數(shù)因此由文中的定理得為代數(shù)注記對(duì)于有界代數(shù)與代數(shù)有界正定關(guān)聯(lián)代數(shù)與代數(shù)相應(yīng)于定理和定理的結(jié)論是否仍然成立尚不得而知對(duì)于同一個(gè)非平凡的正則代數(shù)定理和定理中所構(gòu)造出

6、來(lái)的兩個(gè)代數(shù)是不同的因?yàn)椴⒎菍?duì)所有都成立如時(shí)同樣地對(duì)于同一個(gè)非平凡的對(duì)合代數(shù)定理和定理中所構(gòu)造出來(lái)的兩個(gè)代數(shù)也是不同的但是它們分別是同構(gòu)和同構(gòu)的定理設(shè)是正則代數(shù)是對(duì)合代數(shù)以和分別表示定理和定理定理中的代數(shù)代數(shù)則同構(gòu)同構(gòu)證明令則由的正則性易知是一個(gè)雙射又這里與分別表示定理和定理中的運(yùn)算因此是一個(gè)同構(gòu)映射而其次令則由的對(duì)合性得是一個(gè)雙射又與其中分別表示定理和定理中的蘊(yùn)涵運(yùn)算故為一個(gè)同構(gòu)映射從而代數(shù)與代數(shù)的對(duì)偶代數(shù)本節(jié)討論代數(shù)與代數(shù)的對(duì)偶結(jié)構(gòu)定理設(shè)為對(duì)合代數(shù)為單位元令則為對(duì)合代數(shù)為單位元并且同構(gòu)證明由定理定理定理可設(shè)正則代數(shù)使得這里并且即另一方面對(duì)于這里的正則代數(shù)按定理的方法也可構(gòu)造一個(gè)有界代數(shù)為

7、單位元且有于是從而由定理得同構(gòu)模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)年因?yàn)槭菍?duì)合的所以是對(duì)合代數(shù)證畢完全類(lèi)似地我們可得到下列定理設(shè)為正則代數(shù)令則為正則代數(shù)并且同構(gòu)注記定理和定理分別刻畫(huà)了對(duì)合代數(shù)與正則代數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的特征我們稱(chēng)定理定理中的兩個(gè)代數(shù)代數(shù)互為對(duì)偶代數(shù)因?yàn)椴浑y看出它們中的序關(guān)系是互為對(duì)偶的還不難得知類(lèi)似的結(jié)論對(duì)于有界交換關(guān)聯(lián)代數(shù)和交換關(guān)聯(lián)代數(shù)也是成立的代數(shù)與代數(shù)的關(guān)系文分別建立了正則代數(shù)與代數(shù)格蘊(yùn)涵代數(shù)格蘊(yùn)涵代數(shù)之間的聯(lián)系在