線性代數(shù)23向量組的秩課件.ppt

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1、§2.3向量組的秩(rank)①向量組線性相關。引例③部分組線性無關,能夠線性表示原向量組中的所有向量。②其中,向量是“多余的”11、定義向量組的部分組滿足(1)線性無關;(2)原向量組中的任一向量都可由線性表示,稱部分組是向量組的一個極大線性無關組,簡稱極大無關組?!咀ⅰ?2)?(2)′任取原向量組中的一個向量添加到該部分組中,所得新的部分組一定線性相關。一、極大線性無關組[注]書中定義:(2)的印刷有誤。2【注】極大無關組滿足的條件:①是原向量組的部分組;②線性無關;③能表示向量組中任一向量?!纠斫狻繕O大無關組是該向量組的線性無關的部分組中含向量個數(shù)最多的。32、概念理解極大無關組的存在性

2、?僅含O向量的向量組,無極大無關組。含非O向量的向量組,必有極大無關組。線性無關向量組,其極大無關組為其本身。(3)極大無關組的唯一性?求向量組極大無關組.引例(4)若一個向量組有兩個極大無關組,它們之間是何關系?(2)如果向量組中含基本單位向量組,其即是一個非常漂亮的極大無關組.No!41、向量組等價向量組若(I)中每一個向量都可由(II)線性表示,稱向量組(I)可由(II)線性表示;若(I)和(II)可以相互線性表示,稱(I)和(II)等價,記做(I)≌(II),或≌(I)(II)二、向量組的秩5例1判斷下列兩個向量組是否等價?解6反身性:(I)≌(I)對稱性:(I)≌(II)?(II)≌

3、(I)傳遞性:(I)≌(II)及(II)≌(III)?(I)≌(III)2、向量組等價的基本性質73、向量組與其極大無關組的關系定理1任一向量組與其極大無關組等價。推論任一向量組的兩個極大無關組等價。向量組極大無關組【示意】定義(傳遞性)向量組≌極大無關組(I)向量組≌極大無關組(II)?(I)≌(II)84、線性表示、線性關系、向量個數(shù)的有關結論定理2設向量組(I)(II)向量組(I)可以由向量組(II)線性表示,在此前提下,若s>t,則向量組(I)線性相關?!灸娣衩}】設向量組(I)可以由向量組(II)線性表示,在此前提下,若向量組(I)線性無關,則s?t。9例1(續(xù))實例驗證定理2(I)

4、(II)10推論1兩個等價的線性無關向量組,所含向量的個數(shù)相等。推論2向量組的任意兩個極大無關組,所含向量的個數(shù)相等?!驹u注】向量組的極大無關組所含向量的個數(shù),應該是向量組的一個本質屬性,不會因為極大無關組的不同而改變。向量組的極大無關組是該向量組的線性無關的部分組中含向量個數(shù)最多的。11定義向量組的極大無關組所含向量的個數(shù),稱為向量組的秩(rank),記做【重要結論】(1)僅含O向量的向量組,秩為0。(2)向量組線性無關?5、向量組的秩(rank)(3)向量組線性相關?【評注】可以利用秩與向量組中所含向量的個數(shù)判斷向量組的線性關系。12(4)s個n維向量,有【重要結論】【注】若s>n,則向量

5、組一定線性相關。(5)s個n維向量,若s≥n,且則其極大無關組可以線性表示任意一個n維向量,從而與n維基本單位向量組等價,進而有≌13定理3等價向量組的秩相等。【注】①逆命題不成立,即“秩相等的向量組不一定等價”,請舉例。②等價的向量組有相同的線性關系嗎?不一定,請舉例。③如何求一個向量組的秩,將在§2.4介紹。5、向量組的秩(rank)14例2設證明:與有相同的秩.解析證兩向量組等價,則秩相等.15例3下列兩向量組是否等價?與解析兩向量組都線性無關,則秩都是3,對由3維向量構成的向量組,若秩為3,根據(jù)重要結論,都與3維的基本單位向量組等價,從而兩個向量組等價.16例4.若向量組:可由向量組:

6、線性表示,則必有(   )A.s≤tB.s>tC.r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)D.r(Ⅰ)>r(Ⅱ)(I)(II)C【注】可以作為結論使用(即課后21題的結論):若(Ⅰ)可被(Ⅱ)線性表示,則r(Ⅰ)≤r(Ⅱ).17課后習題P8615,16,1718~2118

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