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《線性代數(shù)23向量組的秩課件.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§2.3向量組的秩(rank)①向量組線性相關(guān)。引例③部分組線性無關(guān)，能夠線性表示原向量組中的所有向量。②其中，向量是“多余的”11、定義向量組的部分組滿足(1)線性無關(guān)；(2)原向量組中的任一向量都可由線性表示，稱部分組是向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)組?！咀ⅰ?2)?(2)′任取原向量組中的一個(gè)向量添加到該部分組中，所得新的部分組一定線性相關(guān)。一、極大線性無關(guān)組[注]書中定義:(2)的印刷有誤。2【注】極大無關(guān)組滿足的條件：①是原向量組的部分組；②線性無關(guān)；③能表示向量組中任一向量。【理解】極大無關(guān)組是該向量組的線性無關(guān)的部分組中含向量個(gè)數(shù)最多的。32、概念理解極大無關(guān)組的存在性
2、？僅含O向量的向量組，無極大無關(guān)組。含非O向量的向量組，必有極大無關(guān)組。線性無關(guān)向量組，其極大無關(guān)組為其本身。(3)極大無關(guān)組的唯一性？求向量組極大無關(guān)組.引例(4)若一個(gè)向量組有兩個(gè)極大無關(guān)組，它們之間是何關(guān)系？(2)如果向量組中含基本單位向量組，其即是一個(gè)非常漂亮的極大無關(guān)組.No！41、向量組等價(jià)向量組若(I)中每一個(gè)向量都可由（II）線性表示，稱向量組(I)可由（II）線性表示；若(I)和(II)可以相互線性表示，稱(I)和(II)等價(jià)，記做(I)≌(II),或≌（I）（II）二、向量組的秩5例1判斷下列兩個(gè)向量組是否等價(jià)?解6反身性：(I)≌(I)對稱性：(I)≌(II)?(II)≌
3、(I)傳遞性：(I)≌(II)及(II)≌(III)?(I)≌(III)2、向量組等價(jià)的基本性質(zhì)73、向量組與其極大無關(guān)組的關(guān)系定理1任一向量組與其極大無關(guān)組等價(jià)。推論任一向量組的兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)。向量組極大無關(guān)組【示意】定義（傳遞性）向量組≌極大無關(guān)組(I)向量組≌極大無關(guān)組(II)?(I)≌(II)84、線性表示、線性關(guān)系、向量個(gè)數(shù)的有關(guān)結(jié)論定理2設(shè)向量組（I）（II）向量組(I)可以由向量組(II)線性表示，在此前提下，若s>t，則向量組(I)線性相關(guān)?！灸娣衩}】設(shè)向量組(I)可以由向量組(II)線性表示，在此前提下，若向量組(I)線性無關(guān)，則s?t。9例1（續(xù)）實(shí)例驗(yàn)證定理2(I)
4、(II)10推論1兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)向量組，所含向量的個(gè)數(shù)相等。推論2向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組，所含向量的個(gè)數(shù)相等?！驹u注】向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，應(yīng)該是向量組的一個(gè)本質(zhì)屬性，不會(huì)因?yàn)闃O大無關(guān)組的不同而改變。向量組的極大無關(guān)組是該向量組的線性無關(guān)的部分組中含向量個(gè)數(shù)最多的。11定義向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩（rank），記做【重要結(jié)論】(1)僅含O向量的向量組，秩為0。(2)向量組線性無關(guān)?5、向量組的秩(rank)(3)向量組線性相關(guān)?【評注】可以利用秩與向量組中所含向量的個(gè)數(shù)判斷向量組的線性關(guān)系。12(4)s個(gè)n維向量，有【重要結(jié)論】【注】若s>n，則向量
5、組一定線性相關(guān)。(5)s個(gè)n維向量，若s≥n，且則其極大無關(guān)組可以線性表示任意一個(gè)n維向量，從而與n維基本單位向量組等價(jià)，進(jìn)而有≌13定理3等價(jià)向量組的秩相等?！咀ⅰ竣倌婷}不成立，即“秩相等的向量組不一定等價(jià)”，請舉例。②等價(jià)的向量組有相同的線性關(guān)系嗎？不一定，請舉例。③如何求一個(gè)向量組的秩，將在§2.4介紹。5、向量組的秩(rank)14例2設(shè)證明:與有相同的秩.解析證兩向量組等價(jià),則秩相等.15例3下列兩向量組是否等價(jià)？與解析兩向量組都線性無關(guān)，則秩都是3，對由3維向量構(gòu)成的向量組,若秩為3，根據(jù)重要結(jié)論，都與3維的基本單位向量組等價(jià)，從而兩個(gè)向量組等價(jià).16例4．若向量組：可由向量組：
6、線性表示，則必有（ ?。〢．s≤tB．s>tC．r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）D．r（Ⅰ）>r（Ⅱ）（I）（II）C【注】可以作為結(jié)論使用(即課后21題的結(jié)論)：若(Ⅰ)可被(Ⅱ)線性表示，則r(Ⅰ)≤r(Ⅱ).17課后習(xí)題P8615,16,1718~2118
