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《高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式同步學(xué)案新人教A版必修.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)特殊的遞推公式可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.掌握把一些簡(jiǎn)單的數(shù)列變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的方法，體驗(yàn)解決數(shù)列問題的基本方法及理解運(yùn)用的過程.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：處理遞推關(guān)系的基本方法.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：通過變形轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列的有關(guān)問題.1.利用數(shù)列的前項(xiàng)和，例1：各項(xiàng)全不為零的數(shù)列{ak}的前k項(xiàng)和為Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.Z求數(shù)列ak。解：當(dāng)，由及，得．當(dāng)時(shí)，由，得．因?yàn)?，所以．從而．，．故．練?xí)1：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則其通項(xiàng)；若它的第項(xiàng)滿足，則．練習(xí)2：：
2、設(shè)數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項(xiàng)。解：驗(yàn)證時(shí)也滿足上式，練習(xí)3：數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．求數(shù)列的通項(xiàng)解：（I）∵an+1=2Sn,,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴數(shù)列｛Sn｝是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，Sn=3n-1(n∈N*).∴當(dāng)n2時(shí)，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an=練習(xí)4：已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，．求的通項(xiàng)公式。解：由，解得或，由假設(shè)，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)為．2．利用遞推關(guān)系2．1遞推關(guān)系其中為常數(shù)由遞推式
3、得，諸式相加，得，即為累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式。例1：數(shù)列中，，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列．求的通項(xiàng)公式．解：，，，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，解得或．當(dāng)時(shí)，，不符合題意舍去，故．當(dāng)時(shí)，由于，，，所以．又，，故．當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．練習(xí)1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故。練習(xí)2：已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：兩邊同除以，得，令，有：，且，從而，故。2．2遞推關(guān)系其中為常數(shù)由遞推式得，諸式相乘，得，即為累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式。例1：已知數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由，得，
4、所以故，諸式相乘得，即，當(dāng)時(shí)也滿足上式。故。練習(xí)1：數(shù)列滿足且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：，即，從而。2．3遞推關(guān)系其中為常數(shù)且令，整理得，所以，即，從而，所以數(shù)列是等比數(shù)列。例5：已知數(shù)列中，，，求的通項(xiàng)公式。解：，．所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即的通項(xiàng)公式為，．練習(xí)1：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)．求的通項(xiàng)公式。解：由整理得．又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得練習(xí)2：已知數(shù)列：3，5，7，9，…，，…。另作一數(shù)列，使得，且當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由已知得，有，所以，故。練習(xí)3：數(shù)列中，設(shè)且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得，令，有，
5、則，所以，從而，故。2．4遞推關(guān)系其中為常數(shù)且，為非常數(shù)由遞推式兩邊同除以，得，對(duì)此采用2.1中所述的累加法可求。例1：在數(shù)列中，，其中．求。解：由N可得所以為等數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0.故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為練習(xí)1：數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足，求。解：由有：，兩式相減得：即：，兩邊同除以，得：，令，則，從而。故。2．5遞推關(guān)系其中為常數(shù)2．5．1若時(shí)，，即，知為等比數(shù)列，對(duì)此采用3.1中所述的累加法可求。例1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由兩邊減去得：，所以是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以，即，即練習(xí)1：已知數(shù)列中，，求數(shù)列的
6、通項(xiàng)公式。解：由兩邊減去得：，所以是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以，即，即2．5．2若時(shí)，存在滿足，整理得，有，從而是等比數(shù)列，對(duì)此采用2.4中所述的方法即可。3．利用倒數(shù)變形，,兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例1：已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，練習(xí)1：數(shù)列滿足：，且，求。解：將條件變?yōu)椋?－＝，因此為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得＝。練習(xí)2：數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：，所以，令，則，因而是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，故。4．利用歸納猜想例1：設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何
7、，有．（1）求，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)．解：由，，，猜想：．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時(shí)由①得因?yàn)闀r(shí)，，所以．，所以．又，所以．故，即時(shí)，成立．由1，2知，對(duì)任意，．練習(xí)1：已知點(diǎn)的序列，其中，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，…，是線段的中點(diǎn)，…（1）寫出與之間的關(guān)系式（）。（2）設(shè)，計(jì)算，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（1）當(dāng)（2）由此推測(cè)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)公式成立，即成立，那么當(dāng)n=k+1時(shí)公式仍成立綜上對(duì)任意公式都成立。5．利用函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)（方程的特征根）5．1若數(shù)列滿
8、足，且是方程的最小根，則。例1：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則是其最小根，得，由題意知，兩邊取對(duì)數(shù)，得，兩邊同時(shí)加1，得：，故是首項(xiàng)為公比為2的等比數(shù)列，所以，故。5．2若數(shù)列滿足且。5．2．1若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，則。例
