矩陣分析基礎ppt課件.ppt

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1、矩陣分析簡介本章討論矩陣序列的極限運算，然后介紹矩陣序列和矩陣級數收斂的定理,矩陣冪級數的極限運算和一些矩陣函數，如sinA,cosA,eA等，最后介紹函數矩陣的微積分。此前我們只研究了矩陣的代數運算，但在工程實際中，特別是涉及到多元分析時，還要用到矩陣的分析運算。同微積分理論一樣，矩陣分析的理論建立，也是以極限理論為基礎的，其內容豐富，是研究數值方法和其它數學分支的重要工具。3.1、矩陣序列與矩陣級數3.3、函數矩陣的微積分3.2、矩陣冪級數定義3.1為中的矩陣序列，其中j=1,2,…,n均成立，不收斂的矩陣3.1.1矩陣序列如果對i=1,

2、2，…，m，序列稱為發(fā)散的。又。收斂，而A稱為則稱矩陣序列矩陣序列的極限，記為。討論矩陣序列的收斂性。例1根據定義，只須求出它的每一個元素的極限即可，解：它的極限為：其中因此由矩陣序列極限的定義可以看出，矩陣序列收斂的性質和數列收斂性質相似。由定義可見，中的矩陣序列的收斂相當于mn個數列同時因此可以用初等分析的方法來研究它。收斂。但同時研究mn個數列的極限未免繁瑣，我們可以利用矩陣范數來研究矩陣序列的極限。定理3.1則矩陣序列收斂于矩陣A的充要條件首先，利用范數的等價性知，對于中的任意證：存在常數,使得即有因此，只需證明定理對一種特定的矩陣范

3、數成立即可。為中的矩陣序列，設為中的收斂于零。是和兩個矩陣范數，一種矩陣范數，即收斂于零是一致的。-范數加以證明。我們選取，均有因此，-范數的定義，對于根據證畢推論3.1則證：需要指出的是，此結論只是充分條件，反過來不一定成立。和矩陣顯然有但是矩陣序列Ak不收斂，故更不收斂于矩陣。給定矩陣序列，知結論成立。由，，并且設，性質3.1和為中的矩陣序列，并且則證由由定理3.1，可知結論成立。設，性質3.2和分別為和并且，則證由由定理3.1和推論3.1可知，結論成立。中的矩陣序列，設和A∈Cn×n均為可逆矩陣，設∈Cn×n中的矩陣序列，性質3.3并且

4、則因為(Ak)-1和A-1存在，所以又有證其中為Ak的第ij個代數余子式。性質3中條件和A均為可逆的是不可少的。可逆也不能保證A一定可逆。于是，因為即使注意，例如，對于都有但是不可逆。在矩陣序列中，最常見的是由一個方陣的冪構成的序列。關于這樣的矩陣序列有以下的概念和收斂定理。設A∈Cn×n，例2證明的充分必要條件是證必要性一種矩陣范數均有因此對充分大的k,因此得由定理3.1，的充分必要條件是對任意利用矩陣譜半徑的定義以及相容矩陣范數的性質有：必有根據定理2.9，對于一種相容的矩陣范數又根據相容矩陣范數的性質有，于是，根據定理3.1知，推論，有

5、則，使得充分性一定存在設A∈Cn×n，若對Cn×n上的某種范數判斷對下列矩陣是否有（1）（2）（1）取則，令得進而得于是，故練習題，由推論，故（2）因為解：3.1.2矩陣級數設為由矩陣序列構成的矩陣級數，記為定義3.3，稱之為矩陣級數若矩陣序列收斂且，則稱矩陣級數收斂，而矩陣S稱為矩陣級數的和矩陣，記為不收斂的矩陣定義3.2的前k項部分和。記級數稱為發(fā)散的。為Cm×n中的矩陣序列，稱和式顯然，和的意義指的是:即m×n個數項級數均為收斂的。例，k=0,1,2,…,解：因為于是故矩陣級數收斂，且和為S。的收斂性，研究矩陣級數其中定理設A為n階方陣

6、，則有收斂的充要條件是而且存在Cn×n上的算子范數‖·‖，使得（1）（2）當收斂時，有證必要性的前k項部分和與前k+1項部分和分別為：因此，利用極限運算法則有根據例2，收斂，若矩陣級數則有又級數充分性則有由則存在某種范數‖·‖，使得又有，根據矩陣序列極限法則，有由，且（I-A）可逆?？芍?，其中由于，故從而收斂，且有計算從而，進一步有。解：矩陣級數收斂的定義與數項級數的定義沒有本質的區(qū)別，我們有一些類似于數項級數的概念和結論。定義3.4為Cm×n中的矩陣級數，其中如果對任意的1≤i≤m,1≤j≤n均為絕對收斂的，對比矩陣級數絕對收斂的定義以及高

7、等數學中的數項級數的絕對收斂的定義可以得出矩陣級數收斂的一些性質。設絕對收斂。矩陣級數則稱并且任意調換各項的順序所得到的級數還是收斂的，性質3.5若矩陣級數是絕對收斂，則它一定是收斂的,不變。且級數和性質3.6收斂。利用矩陣范數的等價性，只需證明對于∞-范數定理成立即可。1≤i≤m，1≤j≤n，一個與N無關的正數M,從而有因此為收斂的正項級數。絕對收斂的充要條件是正項級數矩陣級數證必要性如果是絕對收斂的，由定義即對任意的均絕對收斂，即存在充分大的N和使得如果為收斂的正項級數，可知m×n個級數所以矩陣級數是絕對收斂的。充分性均為絕對收斂的，那么

8、有為則按任何方式排列得到的級數也是絕對收斂的，且和為AB因為矩陣級數和均為絕對收斂的，MA、MB使得對任意的正整數p，均有，均滿足設為Cm×n中的絕對收斂的矩陣級數