矩陣分析基礎(chǔ)ppt課件.ppt

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1、矩陣分析簡介本章討論矩陣序列的極限運(yùn)算，然后介紹矩陣序列和矩陣級數(shù)收斂的定理,矩陣冪級數(shù)的極限運(yùn)算和一些矩陣函數(shù)，如sinA,cosA,eA等，最后介紹函數(shù)矩陣的微積分。此前我們只研究了矩陣的代數(shù)運(yùn)算，但在工程實(shí)際中，特別是涉及到多元分析時(shí)，還要用到矩陣的分析運(yùn)算。同微積分理論一樣，矩陣分析的理論建立，也是以極限理論為基礎(chǔ)的，其內(nèi)容豐富，是研究數(shù)值方法和其它數(shù)學(xué)分支的重要工具。3.1、矩陣序列與矩陣級數(shù)3.3、函數(shù)矩陣的微積分3.2、矩陣冪級數(shù)定義3.1為中的矩陣序列，其中j=1,2,…,n均成立，不收斂的矩陣3.1.1矩陣序列如果對i=1,

2、2，…，m，序列稱為發(fā)散的。又。收斂，而A稱為則稱矩陣序列矩陣序列的極限，記為。討論矩陣序列的收斂性。例1根據(jù)定義，只須求出它的每一個(gè)元素的極限即可，解：它的極限為：其中因此由矩陣序列極限的定義可以看出，矩陣序列收斂的性質(zhì)和數(shù)列收斂性質(zhì)相似。由定義可見，中的矩陣序列的收斂相當(dāng)于mn個(gè)數(shù)列同時(shí)因此可以用初等分析的方法來研究它。收斂。但同時(shí)研究mn個(gè)數(shù)列的極限未免繁瑣，我們可以利用矩陣范數(shù)來研究矩陣序列的極限。定理3.1則矩陣序列收斂于矩陣A的充要條件首先，利用范數(shù)的等價(jià)性知，對于中的任意證：存在常數(shù),使得即有因此，只需證明定理對一種特定的矩陣范

3、數(shù)成立即可。為中的矩陣序列，設(shè)為中的收斂于零。是和兩個(gè)矩陣范數(shù)，一種矩陣范數(shù)，即收斂于零是一致的。-范數(shù)加以證明。我們選取，均有因此，-范數(shù)的定義，對于根據(jù)證畢推論3.1則證：需要指出的是，此結(jié)論只是充分條件，反過來不一定成立。和矩陣顯然有但是矩陣序列Ak不收斂，故更不收斂于矩陣。給定矩陣序列，知結(jié)論成立。由，，并且設(shè)，性質(zhì)3.1和為中的矩陣序列，并且則證由由定理3.1，可知結(jié)論成立。設(shè)，性質(zhì)3.2和分別為和并且，則證由由定理3.1和推論3.1可知，結(jié)論成立。中的矩陣序列，設(shè)和A∈Cn×n均為可逆矩陣，設(shè)∈Cn×n中的矩陣序列，性質(zhì)3.3并且

4、則因?yàn)?Ak)-1和A-1存在，所以又有證其中為Ak的第ij個(gè)代數(shù)余子式。性質(zhì)3中條件和A均為可逆的是不可少的?？赡嬉膊荒鼙ＷCA一定可逆。于是，因?yàn)榧词棺⒁?，例如，對于都有但是不可逆。在矩陣序列中，最常見的是由一個(gè)方陣的冪構(gòu)成的序列。關(guān)于這樣的矩陣序列有以下的概念和收斂定理。設(shè)A∈Cn×n，例2證明的充分必要條件是證必要性一種矩陣范數(shù)均有因此對充分大的k,因此得由定理3.1，的充分必要條件是對任意利用矩陣譜半徑的定義以及相容矩陣范數(shù)的性質(zhì)有：必有根據(jù)定理2.9，對于一種相容的矩陣范數(shù)又根據(jù)相容矩陣范數(shù)的性質(zhì)有，于是，根據(jù)定理3.1知，推論，有

5、則，使得充分性一定存在設(shè)A∈Cn×n，若對Cn×n上的某種范數(shù)判斷對下列矩陣是否有（1）（2）（1）取則，令得進(jìn)而得于是，故練習(xí)題，由推論，故（2）因?yàn)榻猓?.1.2矩陣級數(shù)設(shè)為由矩陣序列構(gòu)成的矩陣級數(shù)，記為定義3.3，稱之為矩陣級數(shù)若矩陣序列收斂且，則稱矩陣級數(shù)收斂，而矩陣S稱為矩陣級數(shù)的和矩陣，記為不收斂的矩陣定義3.2的前k項(xiàng)部分和。記級數(shù)稱為發(fā)散的。為Cm×n中的矩陣序列，稱和式顯然，和的意義指的是:即m×n個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)均為收斂的。例，k=0,1,2,…,解：因?yàn)橛谑枪示仃嚰墧?shù)收斂，且和為S。的收斂性，研究矩陣級數(shù)其中定理設(shè)A為n階方陣

6、，則有收斂的充要條件是而且存在Cn×n上的算子范數(shù)‖·‖，使得（1）（2）當(dāng)收斂時(shí)，有證必要性的前k項(xiàng)部分和與前k+1項(xiàng)部分和分別為：因此，利用極限運(yùn)算法則有根據(jù)例2，收斂，若矩陣級數(shù)則有又級數(shù)充分性則有由則存在某種范數(shù)‖·‖，使得又有，根據(jù)矩陣序列極限法則，有由，且（I-A）可逆。可知，其中由于，故從而收斂，且有計(jì)算從而，進(jìn)一步有。解：矩陣級數(shù)收斂的定義與數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義沒有本質(zhì)的區(qū)別，我們有一些類似于數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和結(jié)論。定義3.4為Cm×n中的矩陣級數(shù)，其中如果對任意的1≤i≤m,1≤j≤n均為絕對收斂的，對比矩陣級數(shù)絕對收斂的定義以及高

7、等數(shù)學(xué)中的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂的定義可以得出矩陣級數(shù)收斂的一些性質(zhì)。設(shè)絕對收斂。矩陣級數(shù)則稱并且任意調(diào)換各項(xiàng)的順序所得到的級數(shù)還是收斂的，性質(zhì)3.5若矩陣級數(shù)是絕對收斂，則它一定是收斂的,不變。且級數(shù)和性質(zhì)3.6收斂。利用矩陣范數(shù)的等價(jià)性，只需證明對于∞-范數(shù)定理成立即可。1≤i≤m，1≤j≤n，一個(gè)與N無關(guān)的正數(shù)M,從而有因此為收斂的正項(xiàng)級數(shù)。絕對收斂的充要條件是正項(xiàng)級數(shù)矩陣級數(shù)證必要性如果是絕對收斂的，由定義即對任意的均絕對收斂，即存在充分大的N和使得如果為收斂的正項(xiàng)級數(shù)，可知m×n個(gè)級數(shù)所以矩陣級數(shù)是絕對收斂的。充分性均為絕對收斂的，那么

8、有為則按任何方式排列得到的級數(shù)也是絕對收斂的，且和為AB因?yàn)榫仃嚰墧?shù)和均為絕對收斂的，MA、MB使得對任意的正整數(shù)p，均有，均滿足設(shè)為Cm×n中的絕對收斂的矩陣級數(shù)