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1、菱形【要點梳理】要點一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點詮釋：菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.要點二、菱形的性質菱形除了具有平行四邊形的一切性質外，還有一些特殊性質：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.要點詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任
2、意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積由兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關計算問題.要點三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎上
3、外加一個條件來判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎上加上四條邊相等.【典型例題】類型一、菱形的性質1、如圖所示，菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度數(shù)．【思路點撥】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，則∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度數(shù)，只要求出∠AEF的度數(shù)即可，由∠EAF＝60°，結合已知條件易證△AEF為等邊三角形，從而∠AEF＝60°．【答案與解析】解：連接AC．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACF
4、．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴AE＝AF．∴△AEF為等邊三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【總結升華】當菱形有一個內角為60°時，連接菱形較短的對角線得到兩個等邊三角形，有助于求相關角的度數(shù)．在求角的度數(shù)時，一定要注意已知角與所求角之間的聯(lián)系．2、已知：如圖所示，四邊
5、形ABCD是菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF，交AD于點M，交CD的延長線于點F．(1)求證：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD的周長．【答案與解析】證明：(1)連接DB，則由菱形性質得BD⊥AC．又因為EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因為點E是AB的中點，所以點M是AD的中點．所以AM＝DM．(2)由(1)得DB∥EF．又BE∥DF，所以四邊形EFDB是平行四邊形．所以BE＝DF＝2．又因為，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周長為4×4＝16．【總結升華
6、】菱形四邊相等，對角線互相垂直平分.舉一反三：【變式】（2015春?濰坊期中）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是AB的中點，如果EO=2，求四邊形ABCD的周長．【答案】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴BO=DO，即O為BD的中點，又∵E是AB的中點，∴EO是△ABD的中位線，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周長=4AD=4×4=16．類型二、菱形的判定3、（2014春?鄭州校級月考）如圖，在等邊三角形ABC中，BC=6cm，射線AG∥BC，點E從點A出發(fā)沿射線A
7、G以lcm/s的速度運動，同時點F從點B出發(fā)沿線射BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t（s）．（1）連接EF，當EF經(jīng)過AC邊的中點D時，求證：△ADE≌△CDF；（2）當t為多少時，四邊形ACFE是菱形．【思路點撥】（1）由題意得到AD=CD，再由AG與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，利用AAS即可得證；（2）若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E運動的時間即可．【答案與解析】（1）證明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC
8、，∵D為AC的中點，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四邊形ACFE是菱形，則有CF=AC=AE=6，則此時的時間t=6÷1=6（s）．故答案為：6s．【總結升華】此題考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質等知識，弄清題意是解本題的關鍵.舉一反三：【變式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝，M為底邊BC上任意一點，過點M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q.⑴求四邊形AQMP的周長；⑵M位于BC的什么位置時，四邊形AQMP為菱形？說明
