菱形知識(shí)講解.doc

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1、菱形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性質(zhì)定理及判定定理．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點(diǎn)詮釋：菱形的定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個(gè)平行四邊形，然后增加一對(duì)鄰邊相等這個(gè)特殊條件.要點(diǎn)二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（對(duì)角線所在的直線），對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)稱中心.要點(diǎn)詮釋：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對(duì)

2、稱圖形，過(guò)中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對(duì)角線乘積的一半（即四個(gè)小直角三角形面積之和）.實(shí)際上，任何一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對(duì)角線乘積的一半.（3）菱形可以用來(lái)證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計(jì)算問(wèn)題.要點(diǎn)三、菱形的判定菱形的判定方法有三種：1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.2.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.3.四條邊相等的四邊形是菱形.要點(diǎn)詮釋：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來(lái)判定菱形，后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.【典型

3、例題】類型一、菱形的性質(zhì)1、（2015?石景山區(qū)一模）如圖，菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，AB上的點(diǎn)，且AE=AF，連接EF并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接BD．（1）求證：四邊形EGBD是平行四邊形；（2）連接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的長(zhǎng)．第6頁(yè)共6頁(yè)【思路點(diǎn)撥】（1）連接AC，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EG∥BD，根據(jù)對(duì)邊分別平行證明是平行四邊形即可．（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【答案與解析】（1）證明：連接AC，如圖1：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD

4、．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四邊形EGBD是平行四邊形．（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根據(jù)勾股定理得，AG=．【總結(jié)升華】本題考查了菱形性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的判定以及直角三角形的性質(zhì)解題．舉一反三：【變式1】（2015?溫州模擬）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E是AB上的一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)O，連接BO，且∠AED=50°，則∠CBO=　　度．【答案】50；解：在菱

5、形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．第6頁(yè)共6頁(yè)【高清課堂特殊的平行四邊形（菱形）例1】【變式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周長(zhǎng)為8，則此菱形的高等于()．A.B.4C.1D.2【答案】C；提示：由題意，∠A＝30°，邊長(zhǎng)為2，菱形的高等于×2＝1.類型二、菱形的判定2、如圖所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分線，DE∥AC，DF∥BC，四邊形DECF是菱形嗎?試說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】由菱形的定義去判定圖形，由DE∥AC，DF∥B

6、C知四邊形DECF是平行四邊形，再由∠1＝∠2＝∠3得到鄰邊相等即可．【答案與解析】解：四邊形DECF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥BC∴四邊形DECF是平行四邊形．∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴CF＝DF，∴四邊形DECF是菱形．【總結(jié)升華】在用菱形的定義判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，首先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由一對(duì)鄰邊相等來(lái)判定它是菱形．舉一反三：【變式】如圖所示，AD是△ABC的角平分線，EF垂直平分AD，分別交AB于E，交AC于F，則四邊形AEDF是菱形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】解：四邊形AEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直

7、平分AD，∴△AOF與△DOF關(guān)于直線EF成軸對(duì)稱．第6頁(yè)共6頁(yè)∴∠ODF＝∠OAF，又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴EO＝OF又∵AEDF的對(duì)角線AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE平分∠ACD，交AD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F．求證：四邊形AEFG是菱形．