顯式和隱式積分格式.doc

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1、顯式和隱式積分格式*-N!h9r!a2k隱式算法和顯式算法是兩個(gè)比較范的概念，無(wú)論是靜力學(xué)問(wèn)題，還是動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，都可以應(yīng)用這兩種方法。所謂顯式和隱式，是指求解方法的不同，即數(shù)學(xué)上的出發(fā)點(diǎn)不一樣。并不是說(shuō)顯式只能求動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，隱式只能求靜力學(xué)問(wèn)題，只是求解策略不同。顯式求解是對(duì)時(shí)間進(jìn)行差分，不存在迭代和收斂問(wèn)題，最小時(shí)間步取決于最小單元的尺寸。過(guò)多和過(guò)小的時(shí)間步往往導(dǎo)致求解時(shí)間非常漫長(zhǎng)，但總能給出一個(gè)計(jì)算結(jié)果。解題費(fèi)用非常昂貴。因此在建模劃分網(wǎng)格時(shí)要非常注意。隱式求解和時(shí)間無(wú)關(guān)，采用的是牛頓迭代法（線性問(wèn)題就直接求解線性代數(shù)方程組），因此存在一個(gè)迭代

2、收斂問(wèn)題，不收斂就得不到結(jié)果。兩者求解問(wèn)題所耗時(shí)間的長(zhǎng)短理論上無(wú)法比較。實(shí)際應(yīng)用中一般感覺(jué)來(lái)說(shuō)顯式耗時(shí)多些。由于兩者解題的出發(fā)點(diǎn)，所以一般來(lái)說(shuō)顯式用于求解和時(shí)間相關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。隱式用來(lái)求解和時(shí)間無(wú)關(guān)的靜力學(xué)問(wèn)題。但也不是絕對(duì)的。比如，用隱式求解時(shí)，為了克服迭代不收斂，改用顯式算，但是要多給點(diǎn)時(shí)間，這樣雖然克服了不收斂的問(wèn)題，但是求解的時(shí)間費(fèi)用也是相當(dāng)客觀的。另外，隱式也可以求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。隱式算法能提供更有力的整體逼近，達(dá)到收斂需反復(fù)的迭代，因而代價(jià)比價(jià)大；顯式方法不需要迭代，因而代價(jià)較小。+x&.O7}(~3d隱式算法適于結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應(yīng)等問(wèn)題；

3、顯式算法適于沖擊、爆炸等問(wèn)題。隱式算法穩(wěn)定性是無(wú)條件的，以K求逆為代價(jià)換得了比顯式算法可以采用大得多的時(shí)間步長(zhǎng)；顯式算法是條件穩(wěn)定，其積分的結(jié)果依賴時(shí)間步的大小，步長(zhǎng)變大往往會(huì)造成結(jié)果不收斂，所以要注意時(shí)間步的大小，還要保證計(jì)算結(jié)果與真實(shí)結(jié)論的偏差要小。隱式與顯示最重要的區(qū)別在于是否對(duì)于整體剛度矩陣求逆，而這一過(guò)程也就決定了兩者對(duì)于模型的要求，由于隱式算法要求逆，所以計(jì)算時(shí)要求整體剛度陣不能奇異，而顯示就沒(méi)有這一問(wèn)題啦。而對(duì)于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題來(lái)將，從數(shù)學(xué)上看它屬于微分方程中初邊值問(wèn)題，如果采用顯示求解，很容易發(fā)生總綱奇異的問(wèn)題，所以很多時(shí)候求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題都

4、采用explicit來(lái)做。但是explicit也有自身的問(wèn)題，由于要對(duì)于時(shí)間積分，如果時(shí)間積分步長(zhǎng)取得太長(zhǎng)，計(jì)算結(jié)果很有可能是不精確的，但是太短了，還會(huì)使得計(jì)算時(shí)間大幅度增加，并且動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中還存在應(yīng)力波效應(yīng)影響，所以使得顯示問(wèn)題更為復(fù)雜，但是abaqus中提供了最小單元尺寸限制時(shí)間步長(zhǎng)的方法，還是可以很好地解決這問(wèn)題。。。。。。。。0K;l6I;Q+v顯式方法(explicit)在方程求解過(guò)程中只涉及到歷史的n和n－1步的信息，而當(dāng)前的第n＋1步的信息（比如空間上的其他點(diǎn)）不會(huì)涉及到,e而隱式方法(implicit)在求解當(dāng)前點(diǎn)(第n＋1步)時(shí)，會(huì)

5、涉及到其他已知點(diǎn)的第n+1步信息,所以需要迭代。(x-n7S0a;R$O:s隱式方法經(jīng)驗(yàn)表明對(duì)于許多問(wèn)題的計(jì)算成本大致與自由度數(shù)的平方成正比,1k6S:b/`3b.z,^0y顯式方法計(jì)算成本與單元數(shù)目成正比,并大致與最小單元的尺寸成反比,隨著模型尺寸的增長(zhǎng),顯式方法該比隱式方法更節(jié)約計(jì)算成本。8L*_2C/n-B)G7C4q?y8j6_但是由于顯式方法的條件穩(wěn)定性和隱式方法的無(wú)條件穩(wěn)定,小規(guī)模模型的(準(zhǔn))靜態(tài)問(wèn)題求解,隱式方法的計(jì)算成本大大低于顯式方法的計(jì)算成本。對(duì)于顯式和隱式兩個(gè)時(shí)間積分過(guò)程，平衡是以外力、單元內(nèi)力和節(jié)點(diǎn)加速度的形式定義的：為了確定

6、單元內(nèi)力，兩種算法都求解節(jié)點(diǎn)加速度，區(qū)別在于計(jì)算節(jié)點(diǎn)加速度的方式。隱式用直接法求解一系列的線性方程組。而顯式算法采用集中質(zhì)量的方法使質(zhì)量矩陣對(duì)角化，這樣不需經(jīng)過(guò)迭代即可求解相互獨(dú)立的多個(gè)方程。并且采用中心差分法對(duì)時(shí)間進(jìn)行離散化,即假定加速度為常數(shù)以求得速度的變化，用這個(gè)速度的變化值加上前一個(gè)時(shí)間段中點(diǎn)的速度來(lái)確定當(dāng)前時(shí)間段的中點(diǎn)速度：速度沿時(shí)間積分的結(jié)果加上此時(shí)間段開(kāi)始時(shí)的位移，確定了時(shí)間段結(jié)束時(shí)的位移。這樣，在時(shí)間段開(kāi)始時(shí)，提供了滿足動(dòng)力學(xué)平衡條件的加速度。知道了加速度，通過(guò)對(duì)時(shí)間的“顯式”求解，可以進(jìn)一步求出速度和位移。所謂的“顯式”是指時(shí)間段結(jié)

7、束時(shí)的形態(tài)僅取決于此時(shí)間段開(kāi)始時(shí)的位移、速度和加速度。為了得到精確的結(jié)果，時(shí)間增量段必須分得足夠小以保證加速度在時(shí)間段中近似為常數(shù)，一般的分析需要成千上萬(wàn)個(gè)時(shí)間段。但由于不必同時(shí)求解聯(lián)立方程，每一個(gè)增量計(jì)算成本較低，大部分的計(jì)算機(jī)資源消耗在計(jì)算確定作用在節(jié)點(diǎn)上的單元內(nèi)力。顯式求解與隱式在數(shù)學(xué)上說(shuō)主要是在求解的遞推公式一個(gè)是用顯式方程表示，一個(gè)是用影視方程來(lái)表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次迭代可以由前一次直接求解，這就是顯示方程，如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)]，f[a(n))為a(n)的函數(shù)，此時(shí)a(n)不能用方程顯示

8、表示，及數(shù)學(xué)上的隱函數(shù)，一般很難直接求解，多用迭代試算法間接求解。