世界數(shù)學(xué)難題——哥尼斯堡七橋問(wèn)題

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1、世界數(shù)學(xué)難題——哥尼斯堡七橋問(wèn)題請(qǐng)你做下面的游戲：一筆畫出如圖1的圖形來(lái)。規(guī)則：筆不離開(kāi)紙面，每根線都只能畫一次。這就是古老的民間游戲——一筆畫。你能畫出來(lái)嗎？如果你畫出來(lái)了，那么請(qǐng)你再看圖2能不能一筆畫出來(lái)？雖然你動(dòng)了腦筋，但我相信你肯定不能一筆畫出來(lái)！為什么我的語(yǔ)氣這么肯定？我們來(lái)分析一下圖2。我們把圖2看成是由點(diǎn)和線組成的一種集合。圖里直線的交點(diǎn)叫做頂點(diǎn)，連結(jié)頂點(diǎn)的線叫做邊。這個(gè)圖是聯(lián)通的，即任何二個(gè)頂點(diǎn)之間都有邊。很顯然，圖中的頂點(diǎn)有兩類：一類是有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，另一類是有奇數(shù)條邊聯(lián)它的。一個(gè)頂點(diǎn)如果有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，這點(diǎn)就稱為偶點(diǎn)；如

2、果有奇數(shù)條邊聯(lián)它的，就稱它為奇點(diǎn)。我們知道，能一筆畫的圖形只有兩類：一類是所有的點(diǎn)都是偶點(diǎn)。另一類是只有二個(gè)奇點(diǎn)的圖形。圖2有六個(gè)奇點(diǎn)，四個(gè)偶點(diǎn)，當(dāng)然不能一筆畫出來(lái)了。為什么能一筆畫的圖形只有上述兩類呢？有關(guān)這個(gè)問(wèn)題的討論，要追溯到二百年前的一個(gè)著名問(wèn)題：哥尼斯堡七橋問(wèn)題。十八世紀(jì)東普魯士哥尼斯堡城（今俄羅斯加里寧格勒）的普萊格爾河，它有兩個(gè)支流，在城市中心匯成大河，中間是島區(qū)，河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如圖3所示。由于島上有古老的哥尼斯堡大學(xué)，有教堂，還有哲學(xué)家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大學(xué)生們經(jīng)常沿河過(guò)橋散步。漸

3、漸地，愛(ài)動(dòng)腦筋的人們提出了一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過(guò)一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。這就是七橋問(wèn)題，一個(gè)著名的圖論問(wèn)題。圖3這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)似乎很簡(jiǎn)單，然而許多人作過(guò)嘗試始終沒(méi)有能找到答案。因此，一群大學(xué)生就寫信給當(dāng)時(shí)年僅20歲的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉從千百人次的失敗，以深邃的洞察力猜想，也許根本不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋，并很快證明了這樣的猜想是正確的。歐拉是這樣解決問(wèn)題的：既然陸地是橋梁的連接地點(diǎn)，不妨把圖中被河隔開(kāi)的陸地看成4個(gè)點(diǎn)，7座橋表示成7條連接這4個(gè)點(diǎn)的線，如圖4所示。圖4圖5于是“七橋問(wèn)題”就等價(jià)于圖5中

4、所畫圖形的一筆畫問(wèn)題了。歐拉注意到，如果一個(gè)圖能一筆畫成，那么一定有一個(gè)起點(diǎn)開(kāi)始畫，也有一個(gè)終點(diǎn)。圖上其它的點(diǎn)是“過(guò)路點(diǎn)”——畫的時(shí)候要經(jīng)過(guò)它?，F(xiàn)在看“過(guò)路點(diǎn)”具有什么性質(zhì)。它應(yīng)該是“有進(jìn)有出”的點(diǎn)，有一條邊進(jìn)這點(diǎn)，那么就要有一條邊出這點(diǎn)，不可能是有進(jìn)無(wú)出，如果有進(jìn)無(wú)出，它就是終點(diǎn)，也不可能有出無(wú)進(jìn)，如果有出無(wú)進(jìn)，它就是起點(diǎn)。因此，在“過(guò)路點(diǎn)”進(jìn)出的邊總數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)，即“過(guò)路點(diǎn)”是偶點(diǎn)。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)是同一點(diǎn)，那么它也是屬于“有進(jìn)有出”的點(diǎn)，因此必須是偶點(diǎn)，這樣圖上全體點(diǎn)都是偶點(diǎn)。如果起點(diǎn)和終點(diǎn)不是同一點(diǎn)，那么它們必須是奇點(diǎn)，因此這個(gè)圖最多只能

5、有二個(gè)奇點(diǎn)?，F(xiàn)在對(duì)照七橋問(wèn)題的圖，所有的頂點(diǎn)都是奇點(diǎn)，共有四個(gè)，所以這個(gè)圖肯定不能一筆畫成。歐拉對(duì)“七橋問(wèn)題”的研究是圖論研究的開(kāi)始，同時(shí)也為拓?fù)鋵W(xué)的研究提供了一個(gè)初等的例子。事實(shí)上，中國(guó)民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，從長(zhǎng)期實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，人們知道如果圖的點(diǎn)全部是偶點(diǎn)，可以任意選擇一個(gè)點(diǎn)做起點(diǎn)，一筆畫成。如果是有二個(gè)奇點(diǎn)的圖形，那么就選一個(gè)奇點(diǎn)做起點(diǎn)以順利的一筆畫完?？上У氖?，古時(shí)候沒(méi)有人對(duì)它重視，沒(méi)有數(shù)學(xué)家對(duì)它進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，以及加以研究。今天學(xué)習(xí)歐拉的成果不應(yīng)是單純把它作為數(shù)學(xué)游戲，重要的是應(yīng)該知道他怎樣把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。研究數(shù)學(xué)

6、問(wèn)題不應(yīng)該為“抽象而抽象”，抽象的目的是為了更好的、更有效的解決實(shí)際產(chǎn)生的問(wèn)題，歐拉對(duì)“七橋問(wèn)題”的研究就是值得我們學(xué)習(xí)的一個(gè)樣板?！靖戒洝恳?、【七巧板簡(jiǎn)介】十九世紀(jì)最流行的謎題之一就是七巧板。七巧板的流行大概是由于它結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、操作簡(jiǎn)便、明白易懂的緣故。你可以用七巧板隨意地拼出你自己設(shè)計(jì)的圖樣，但如果你想用七巧板拼出特定的圖案，那就會(huì)遇到真正的挑戰(zhàn)。七巧板那簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)很容易使人誤認(rèn)為要解決它的問(wèn)題也很容易，其實(shí)這種想法是片面的。用七巧板可以拼出1600種以上的圖案，其中有些是容易拼成的，有一些卻相當(dāng)詭秘，還有一些則似是而非充滿了矛盾?！捌咔砂濉?/p>

7、是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明。大約發(fā)明于明朝初年，明、清兩代在民間廣泛流傳，清陸以氵恬《冷廬雜識(shí)》卷一中寫道“近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余。體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之。”“七巧圖”不知何時(shí)傳到國(guó)外，受到他們的歡迎與重視，李約瑟說(shuō)它是“東方最古老的消遣品”之一，至今英國(guó)劍橋大學(xué)的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》。美國(guó)作家埃德加·愛(ài)倫坡特竟用象牙精制了一副七巧板。法國(guó)拿破倫在流放生活中也曾用七巧板作為消遣游戲。誰(shuí)能想像到七巧板居然會(huì)跟拿破侖、亞當(dāng)、杜雷、愛(ài)倫坡特以及卡洛爾等人發(fā)生關(guān)系？實(shí)際上他們?nèi)?/p>

8、是七巧板的狂熱愛(ài)好者。關(guān)于七巧板的名稱有許多原始的說(shuō)法：1．來(lái)自被廢棄的英語(yǔ)詞“trangram”：奇怪形狀的小玩意兒；2．來(lái)自詞Tang（中國(guó)的唐朝