世界數(shù)學難題——哥尼斯堡七橋問題

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1、世界數(shù)學難題——哥尼斯堡七橋問題請你做下面的游戲：一筆畫出如圖1的圖形來。規(guī)則：筆不離開紙面，每根線都只能畫一次。這就是古老的民間游戲——一筆畫。你能畫出來嗎？如果你畫出來了，那么請你再看圖2能不能一筆畫出來？雖然你動了腦筋，但我相信你肯定不能一筆畫出來！為什么我的語氣這么肯定？我們來分析一下圖2。我們把圖2看成是由點和線組成的一種集合。圖里直線的交點叫做頂點，連結頂點的線叫做邊。這個圖是聯(lián)通的，即任何二個頂點之間都有邊。很顯然，圖中的頂點有兩類：一類是有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，另一類是有奇數(shù)條邊聯(lián)它的。一個頂點如果有偶數(shù)條邊聯(lián)它的，這點就稱為偶點；如

2、果有奇數(shù)條邊聯(lián)它的，就稱它為奇點。我們知道，能一筆畫的圖形只有兩類：一類是所有的點都是偶點。另一類是只有二個奇點的圖形。圖2有六個奇點，四個偶點，當然不能一筆畫出來了。為什么能一筆畫的圖形只有上述兩類呢？有關這個問題的討論，要追溯到二百年前的一個著名問題：哥尼斯堡七橋問題。十八世紀東普魯士哥尼斯堡城（今俄羅斯加里寧格勒）的普萊格爾河，它有兩個支流，在城市中心匯成大河，中間是島區(qū)，河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結，如圖3所示。由于島上有古老的哥尼斯堡大學，有教堂，還有哲學家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大學生們經常沿河過橋散步。漸

3、漸地，愛動腦筋的人們提出了一個問題：一個散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是七橋問題，一個著名的圖論問題。圖3這個問題看起來似乎很簡單，然而許多人作過嘗試始終沒有能找到答案。因此，一群大學生就寫信給當時年僅20歲的大數(shù)學家歐拉。歐拉從千百人次的失敗，以深邃的洞察力猜想，也許根本不可能不重復地一次走遍這七座橋，并很快證明了這樣的猜想是正確的。歐拉是這樣解決問題的：既然陸地是橋梁的連接地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成4個點，7座橋表示成7條連接這4個點的線，如圖4所示。圖4圖5于是“七橋問題”就等價于圖5中

4、所畫圖形的一筆畫問題了。歐拉注意到，如果一個圖能一筆畫成，那么一定有一個起點開始畫，也有一個終點。圖上其它的點是“過路點”——畫的時候要經過它?，F(xiàn)在看“過路點”具有什么性質。它應該是“有進有出”的點，有一條邊進這點，那么就要有一條邊出這點，不可能是有進無出，如果有進無出，它就是終點，也不可能有出無進，如果有出無進，它就是起點。因此，在“過路點”進出的邊總數(shù)應該是偶數(shù)，即“過路點”是偶點。如果起點和終點是同一點，那么它也是屬于“有進有出”的點，因此必須是偶點，這樣圖上全體點都是偶點。如果起點和終點不是同一點，那么它們必須是奇點，因此這個圖最多只能

5、有二個奇點?，F(xiàn)在對照七橋問題的圖，所有的頂點都是奇點，共有四個，所以這個圖肯定不能一筆畫成。歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子。事實上，中國民間很早就流傳著這種一筆畫的游戲，從長期實踐的經驗，人們知道如果圖的點全部是偶點，可以任意選擇一個點做起點，一筆畫成。如果是有二個奇點的圖形，那么就選一個奇點做起點以順利的一筆畫完?？上У氖?，古時候沒有人對它重視，沒有數(shù)學家對它進行經驗總結，以及加以研究。今天學習歐拉的成果不應是單純把它作為數(shù)學游戲，重要的是應該知道他怎樣把一個實際問題抽象成數(shù)學問題。研究數(shù)學

6、問題不應該為“抽象而抽象”，抽象的目的是為了更好的、更有效的解決實際產生的問題，歐拉對“七橋問題”的研究就是值得我們學習的一個樣板?！靖戒洝恳?、【七巧板簡介】十九世紀最流行的謎題之一就是七巧板。七巧板的流行大概是由于它結構簡單、操作簡便、明白易懂的緣故。你可以用七巧板隨意地拼出你自己設計的圖樣，但如果你想用七巧板拼出特定的圖案，那就會遇到真正的挑戰(zhàn)。七巧板那簡單的結構很容易使人誤認為要解決它的問題也很容易，其實這種想法是片面的。用七巧板可以拼出1600種以上的圖案，其中有些是容易拼成的，有一些卻相當詭秘，還有一些則似是而非充滿了矛盾。“七巧板”

7、是我國古代勞動人民的發(fā)明。大約發(fā)明于明朝初年，明、清兩代在民間廣泛流傳，清陸以氵恬《冷廬雜識》卷一中寫道“近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余。體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之?！薄捌咔蓤D”不知何時傳到國外，受到他們的歡迎與重視，李約瑟說它是“東方最古老的消遣品”之一，至今英國劍橋大學的圖書館里還珍藏著一部《七巧新譜》。美國作家埃德加·愛倫坡特竟用象牙精制了一副七巧板。法國拿破倫在流放生活中也曾用七巧板作為消遣游戲。誰能想像到七巧板居然會跟拿破侖、亞當、杜雷、愛倫坡特以及卡洛爾等人發(fā)生關系？實際上他們全都

8、是七巧板的狂熱愛好者。關于七巧板的名稱有許多原始的說法：1．來自被廢棄的英語詞“trangram”：奇怪形狀的小玩意兒；2．來自詞Tang（中國的唐朝