福建省南平市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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南平市2022-2023學(xué)年高二第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、班級(jí)和座號(hào).考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試題卷上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如果質(zhì)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的位移S（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）之間的函數(shù)關(guān)系為那么該質(zhì)點(diǎn)在秒時(shí)的瞬時(shí)速度為：（）（單位：米/秒）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義求解即可.【詳解】，所以.故選：D.2.直線與直線之間的距離為（）A.B.C.D.1【答案】C【解析】【分析】由兩線距離公式求值即可. 【詳解】，顯然與另一條直線平行，則所求距離為.故選：C.3.函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的除法法則和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行求解.【詳解】因；所以；故.故選：D.4.如圖，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)．記，，則下列正確的是（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】利用平行六面體的性質(zhì)以及空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知：在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，則，所以，故選：.5.若函數(shù)在R上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】原命題等價(jià)為在R上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式求解即可.【詳解】∵函數(shù)在R上是增函數(shù)，在R上恒成立，∴.故選：B.6.過拋物線C：焦點(diǎn)F的動(dòng)直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若E為線段AB的中點(diǎn)，M為拋物線C上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.3B.C.6D.【答案】A【解析】【分析】利用中點(diǎn)關(guān)系求出E軌跡方程，結(jié)合橢圓定義由數(shù)形結(jié)合可得最小值.【詳解】設(shè)，E為線段AB的中點(diǎn)，則，又，兩式相減得，由，∴，∴E的軌跡為頂點(diǎn)在 的拋物線.如圖所示，、EP垂直C的準(zhǔn)線于N、P，則，則當(dāng)與F重合時(shí)，最小，為.故的最小值為3.故選：A.7.若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由新定義求得，然后由求得，從而可求得（裂項(xiàng)相消法）后得的最小值，解相應(yīng)不等式可得結(jié)論．【詳解】由題意,即,∴時(shí)，，又，∴時(shí)，，，， 易知是遞增數(shù)列，∴的最小值是（時(shí)取得），由題意，解得．故選：B．8.已知函數(shù)的最小值為－1，過點(diǎn)的直線中有且只有兩條與函數(shù)的圖象相切，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，結(jié)合題意可得，設(shè)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，根據(jù)切線過點(diǎn)建立方程，再結(jié)合過點(diǎn)的直線有兩條與函數(shù)的圖象相切可得，解之即可求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，令可得．當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以，設(shè)過點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)為，則切線方程為，又切線過點(diǎn)，所以，即，即． 過點(diǎn)的直線有兩條與函數(shù)的圖象相切，則，即，解得：或．故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.若函數(shù)，則（）A.函數(shù)只有極大值沒有極小值B.函數(shù)只有最大值沒有最小值C.函數(shù)只有極小值沒有極大值D.函數(shù)只有最小值沒有最大值【答案】CD【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值、最值.【詳解】，單調(diào)遞增，由，則∴函數(shù)有唯一極小值，即最小值，沒有極大值、最大值.故選：CD.10.函數(shù)，以下說法正確的是（）A.函數(shù)有零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的最值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理求解即可.【詳解】，定義域，所以，令解得，令解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，， 則的圖象如圖所示：故A錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，所以從圖像可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC11.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和為.若對(duì)任意的，都有，則的值可能為（）A.2B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】由等差數(shù)數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)出，由此能求出的值不可能為.【詳解】數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，前項(xiàng)和.若對(duì)任意的，都有，，，解得， 當(dāng)時(shí)，．成立；當(dāng)時(shí)，．成立；當(dāng)時(shí)，．成立；當(dāng)時(shí)，．不成立．的值不可能為．故選：ABC．12.雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)為，一條漸近線l的方程為，M，N是雙曲線E上不同兩點(diǎn)，則（）A.漸近線l與圓相切B.M，N的中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率可能為C.當(dāng)直線MN過雙曲線E的右焦點(diǎn)時(shí)，滿足的直線MN只有3條D.滿足的點(diǎn)M有且僅有2個(gè)【答案】AC【解析】【分析】求出圓心到直線的距離即可判斷A；根據(jù)題意求出雙曲線的方程，假設(shè)存在點(diǎn)，符合題意，利用點(diǎn)差法求出，即可判斷B；求出通徑及實(shí)軸長即可判斷C；分別比較與的大小即可判斷D.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，圓心到曲線E的漸近線的距離為，所以漸近線l與圓相切，故A正確；因，所以，即， 又一條漸近線l的方程為，所以，可解得：，，所以曲線E的方程為，假設(shè)存在點(diǎn)，符合題意，則的中點(diǎn)，，由，，相減得，所以，所以共線，故直線與漸近線重合，矛盾，故B不正確；雙曲線E焦距為，則直線MN過左右頂點(diǎn)時(shí)，，符合題意，令，則有，解得，所以雙曲線的通徑為，即直線MN過雙曲線E右焦點(diǎn)時(shí)，，所以當(dāng)直線不過左右頂點(diǎn)時(shí)，滿足的線段有2條，綜上，滿足的線段包含實(shí)軸共有3條，故C正確；，所以右支上有兩點(diǎn)滿足題意，，所以左支上有兩點(diǎn)滿足題意，滿足的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)，D不正確． 故選：AC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：①已知橢圓的弦的中點(diǎn)，則；②已知雙曲線的弦的中點(diǎn)，則；③已知拋物線的弦的中點(diǎn)，則.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則______．【答案】35【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，故答案為：35.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，且，請(qǐng)寫出滿足題意的直線PF的一個(gè)方程_____________．【答案】（或，寫其中一個(gè)即可）【解析】【分析】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由焦半徑公式求得點(diǎn)坐標(biāo)后可得直線方程．【詳解】由題意焦點(diǎn)為為，設(shè)，則，，，，若，則，直線方程為，即，若，則，直線方程為，即，故答案為：或（寫一個(gè)即可）．15.某牧場(chǎng)年年初牛的存欄數(shù)為，計(jì)劃以后每年存欄數(shù)的增長率為，且每年年底賣出 頭牛，按照該計(jì)劃預(yù)計(jì)經(jīng)過_____________年后存欄數(shù)首次超過．（結(jié)果保留成整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意列出數(shù)列的遞推公式，求出通項(xiàng)公式，解不等式得出答案.【詳解】設(shè)年年初牛的存欄數(shù)為，經(jīng)過年（即年）,年初牛的存欄數(shù)為，經(jīng)過年年初牛的存欄數(shù)為，則，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.因此，由得，即.所以按照該計(jì)劃預(yù)計(jì)經(jīng)過年后存欄數(shù)首次超過．故答案為：7.16.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，的面積為，，則橢圓的長軸長為_____________．【答案】7【解析】【分析】先根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理和三角形面積公式可得，再利用正弦定理列式即可求解.【詳解】因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，所以，，， 由余弦定理，可得，所以，即,所以，又因?yàn)椋?，由及正弦定理得，所以，即，又，所以長軸長，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知圓M過點(diǎn)，，．（1）求圓M的方程；（2）求過點(diǎn)的直線被圓M截得的弦長的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用相等關(guān)系求出圓心和半徑，進(jìn)而可得方程；（2）根據(jù)點(diǎn)在圓內(nèi)，確定弦長最短的狀態(tài)，結(jié)合勾股定理可得答案. 【小問1詳解】由題意圓心M在AB中垂線上，設(shè)圓心，則由得，解得，，所以圓M的方程．【小問2詳解】因?yàn)椋c(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)弦所在的直線和MN連線垂直時(shí)，截得弦長DE最短，此時(shí)，，即弦長的最小值為．18.已知四面體ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，．（1）若M是BD的中點(diǎn)，求直線CM與平面ACD所成的角的正弦值；（2）若P，A，C，D四點(diǎn)共面，且BP⊥平面ACD，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意分別求出向量和平面ACD的一個(gè)法向量，再用直線與平面所成的角的正弦值公式代入計(jì)算即可；（2）由題意，，于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由P，A，C，D四點(diǎn)共面，可設(shè)，將坐標(biāo)分別代入即可解得，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).【小問1詳解】 由題意，，，，，可設(shè)平面ACD的法向量，則，即，化簡得．令，則，，可得平面ACD的一個(gè)法向量，設(shè)直線CM與平面ACD所成的角為，則，即直線CM與平面ACD所成的角的正弦值為；【小問2詳解】由題意，，于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為，又P，A，C，D四點(diǎn)共面，可設(shè)，即，即，解得，所以所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）定義，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，作差即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式，再設(shè)數(shù)列的公差為，即可得到方程組，解得、，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)通項(xiàng)公式判斷數(shù)列的單調(diào)性，即可得到的通項(xiàng)公式，再用分組求和法計(jì)算可得.【小問1詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；設(shè)數(shù)列的公差為，由，，可得，解得，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)?，即?shù)列為遞增數(shù)列，即數(shù)列單調(diào)遞減，，，，，，，，，，，，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以 .20.已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與雙曲線交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，．（1）求雙曲線C的離心率e；（2）當(dāng)l傾斜角為時(shí)，線段MN垂直平分線交x軸于P，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得：，也即，進(jìn)而求出雙曲線的離心率；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得雙曲線C的方程為，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得MN的垂直平分線的方程為，進(jìn)而得到P的坐標(biāo)為，計(jì)算可得，，進(jìn)而求解.【小問1詳解】根據(jù)題意．所以，所以雙曲線C的離心率．【小問2詳解】由（1）知，雙曲線C的方程為．直線MN的方程為，聯(lián)立方程組，得，設(shè)，，， 則，．因?yàn)?，所以MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為．MN的垂直平分線的方程為，所以P的坐標(biāo)為，所以．又，所以．21.在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，M是AB的中點(diǎn)，且，，．（1）證明：平面EDC⊥平面ABCD；（2）若，當(dāng)平面ABF與平面CEF所夾的角的余弦值為時(shí)，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，利用向量夾角的余弦值為求出的值.【小問1詳解】 因?yàn)?，取CD中點(diǎn)O，連接OE，則EO⊥DC，且EO＝2，因?yàn)镺，M是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M＝2，所以，即EO⊥OM，又因?yàn)镋O⊥DC，且，平面ABCD，平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，又平面ABCD，所以平面EDC⊥平面ABCD；【小問2詳解】由（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OM，OC，OE為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為，則，取，，，設(shè)平面ABF的一個(gè)法向量為，則，取，所以，解得，即當(dāng)平面ABF與平面CEF所夾的角的余弦值為時(shí)，． 22.定義橢圓C：上的點(diǎn)的“圓化點(diǎn)”為．已知橢圓C的離心率為，“圓化點(diǎn)”D在圓上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，不過點(diǎn)A的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M，N的“圓化點(diǎn)”分別為點(diǎn)P，Q．記直線l，AP，AQ的斜率分別為k，，，若，則直線l是否過定點(diǎn)？若直線l過定點(diǎn)，求定點(diǎn)的坐標(biāo)；若直線l不過定點(diǎn)，說明理由．【答案】（1）（2）直線l過定點(diǎn)【解析】【分析】（1）結(jié)合離心率及點(diǎn)的位置求得，，得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得到關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得到用參數(shù)表示，代入化簡整理可得，從而得到直線的定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題意，所以，由得，又點(diǎn)在圓上，，所以，即，，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線l的方程為，，，其中，聯(lián)立， 消y得，，由，，，得，因?yàn)?，則，即，所以直線l方程為，即直線l過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】求解圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種求法：（1）特殊推理法：先從特殊情況入手，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)與變量無關(guān).（2）直接推理法：①選擇一個(gè)參數(shù)建立方程，一般將題目中給出的曲線方程（包含直線方程）中的常數(shù)變成變量，將變量當(dāng)成常數(shù)，將原方程轉(zhuǎn)化為的形式；②根據(jù)曲線（包含直線）過定點(diǎn)時(shí)與參數(shù)沒有關(guān)系（即方程對(duì)參數(shù)的任意值都成立），得到方程組；③以②中方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是曲線所過的定點(diǎn)，若定點(diǎn)具備一定的限制條件，可以特殊解決.