湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆高三上學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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英才大聯(lián)考長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆高三月考試卷（一）數(shù)學(xué)試卷本試卷共8頁(yè)。時(shí)量120分鐘。滿分150分。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，集合，則（）A.B.C.D.2.已知，向量，，則“”是“”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位），表示的共軛復(fù)數(shù)，表示的模，則下列各式正確的是（）A.B.C.D.4.若直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.5.數(shù)列滿足若，則等于（）A.B.C.D.6.現(xiàn)有長(zhǎng)為89cm的鐵絲，要截成小段，每段的長(zhǎng)度為不小于1cm的整數(shù)，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，則的最大值為（）A.8B.9C.10D.117.已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則的取值范圍是（） A.B.C.D.8.已知函數(shù)在區(qū)間，上都單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.同學(xué)們，你們是否注意到：自然下垂的鐵鏈；空曠田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深澗的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無(wú)理數(shù)），對(duì)于函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A.如果，那么為奇函數(shù)B.如果，那么為單調(diào)函數(shù)C.如果ab>0，那么沒(méi)有零點(diǎn)D.如果，那么的最小值為210.由兩個(gè)全等的正四棱臺(tái)組合而得到的幾何體1如圖1，沿著和分別作上底面的垂面，垂面經(jīng)過(guò)棱，，，的中點(diǎn)，，，，則兩個(gè)垂面之間的幾何體2如圖2所示，若，則（）A.B.C.平面D.幾何體2的表面積為 11.已知隨機(jī)變量，，，，記，其中，，則（）A.B.C.D.若，則12.已知，函數(shù)，則（）A.對(duì)任意，，存在唯一極值點(diǎn)B.對(duì)任意，曲線過(guò)原點(diǎn)的切線有兩條C.當(dāng)時(shí)，存在零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，的最小值為1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則__________.14.用1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中個(gè)位小于百位且百位小于萬(wàn)位的五位數(shù)有個(gè)，則的展開(kāi)式中，的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）15.一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是____________.16.如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上.以，為焦點(diǎn)的雙曲線交橢圓于，，，四點(diǎn)，且.橢圓的一條弦交雙曲線于，設(shè)，當(dāng)時(shí)，雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)___________.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且 .（1）求；（2）是否存在，使得，若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由.18.（12分）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，分別為和的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，.（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最大?19.（12分）已知數(shù)列滿足，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.21.（12分）某單位在“全民健身日”舉行了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一個(gè)項(xiàng)目為投籃游戲.游戲的規(guī)則如下：每局游戲需投籃3次，若投中的次數(shù)多于未投中的次數(shù)，該局得3分，否則得1分.已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求甲在一局游戲中投籃命中次數(shù)的分布列與期望；（2）若參與者連續(xù)玩局投籃游戲獲得的分?jǐn)?shù)的平均值大于2，即可獲得一份大獎(jiǎng).現(xiàn)有和兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，甲應(yīng)該如何選擇?請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（12分）已知拋物線：，，，是拋物線上的三點(diǎn)，且滿足，過(guò)作 于點(diǎn).（1）若，求證直線過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)，記點(diǎn)軌跡圍成的圖形的面積為，記的面積為，當(dāng)直線的傾斜角不是鈍角時(shí)，求的最小值.英才大聯(lián)考長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆高三月考試卷（一）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678答案ABDCCBDD1.A【解析】解不等式，得，則，解不等式，得，即，所以，故選A.2.B【解析】若向量，則，即，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件，故選B.3.D【解析】因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；，，故B錯(cuò)誤；，，故C錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，，則，故D正確.故選D.4.C【解析】依題意，圓：，故圓心到直線：的距離，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故選C.5.C【解析】因?yàn)?，所以，，?，所以數(shù)列具有周期性，周期為4，所以.故選C.6.B【解析】截成的鐵絲最小為1，因此第一段為1，因段之和為定值，欲盡可能的大，則必須每段的長(zhǎng)度盡可能小，所以第二段為1，又因?yàn)槿我馊龡l線段都不能構(gòu)成三角形，所以三條線段中較小兩條之和不超過(guò)最長(zhǎng)線段，又因?yàn)槊慷蔚拈L(zhǎng)度盡可能小，所以第三段為2，為了使得最大，因此要使剩下的鐵絲盡可能長(zhǎng)，因此每一條線段總是前面的相鄰兩段之和，依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，以上各數(shù)之和為88，與89相差1，因此可以取最后一段為35，這時(shí)達(dá)到最大為9.故選B.7.D【解析】由題設(shè)有,令，則有，，即，.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故存在整數(shù)，使得，即因?yàn)?，所以且，故?所以或，故選D.8.D【解析】設(shè)，其判別式，∴函數(shù)一定有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)為，且，由，得，， ∴①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減或?yàn)槌：瘮?shù)，從而在不可能單調(diào)遞增，故；②當(dāng)時(shí)，，故，則，∵在上單調(diào)遞增，∴在上也單調(diào)遞增，，，由在和上都單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖象是連續(xù)的，∴在上單調(diào)遞增，欲使在上單調(diào)遞增，只需，得，綜上，實(shí)數(shù)的范圍是.故選D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)9101112答案BCABCABDABD9.BC【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)，所以為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令，，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)在其定義域上也為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)；令，，函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù) 在其定義域上也為單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)在其定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)；綜上，如果，那么為單調(diào)函數(shù)，故B正確.對(duì)于C，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)；綜上，如果，那么函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，故C正確.對(duì)于D，由，則,當(dāng)，時(shí)，函數(shù)；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)；故時(shí)，函數(shù)可能沒(méi)有最小值，故D錯(cuò)誤.故選BC.10.ABC【解析】將幾何體1與幾何體2合并在一起，連接，，，，，，記，易得，對(duì)于A，因?yàn)樵谡睦馀_(tái)中，，是的中點(diǎn)，所以，又是的中點(diǎn)，，所以，則，，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，同理，， 所以四形邊是邊長(zhǎng)為2的菱形，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，，因?yàn)?，是，的中點(diǎn)，所以，，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)樵谡睦馀_(tái)中，平面平面，又平面平面，平面平面，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C，在四邊形中，由比例易得，由對(duì)稱性可知，而，所以，則，即，而由選項(xiàng)B同理可證，所以，因?yàn)樵谡叫沃?，，而，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)A易知四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，上下底面也是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，其高為，所以幾何體2是由4個(gè)邊長(zhǎng)為2正方形和8個(gè)上述菱形組合而成，所以其表面積為，故D錯(cuò)誤.故選ABC.11.ABD【解析】對(duì)于A，，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，最大，所以D正確；證明如下：若，則，若，則，解得，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即當(dāng)為整數(shù)時(shí)，或時(shí)，取得最大值，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，為的整數(shù)部分時(shí)，取得最大值.故選ABD.12.ABD【解析】對(duì)于A，由已知，函數(shù)，可得，令，∴，則在上單調(diào)遞增，令，則，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)，的大致圖象如圖1，當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)，的大致圖象如圖2，可知，的圖象總有一個(gè)交點(diǎn)，即總有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；此時(shí)存在唯一極小值點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，由于，故原點(diǎn)不在曲線上，且， 設(shè)切點(diǎn)為，，則，即，即，令，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，故對(duì)任意，，曲線過(guò)原點(diǎn)的切線有兩條，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，故，其在上單調(diào)遞增，，，故存在，使得，即，結(jié)合A的分析可知，的極小值也即最小值為，令，則，且為增函數(shù)，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， 故當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故，令，則，故，此時(shí)的最小值為，無(wú)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，考慮的情況，此時(shí)，，結(jié)合A的分析可知在上單調(diào)遞增，，故時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故，D正確，故選ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】因?yàn)椋瑒t，所以.14.2023【解析】用1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿足個(gè)位小于百位且百位小于萬(wàn)位的五位數(shù)有個(gè)，即，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，所以的系數(shù)是.15. 【解析】由題意，考慮小球與正四面體的一個(gè)面相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長(zhǎng)為，故小三角形的邊長(zhǎng)為，小球與一個(gè)面不能接觸到的部分的面積為，所以幾何體的四個(gè)面永遠(yuǎn)不可能接觸到容器的內(nèi)壁的面積是.16.【解析】設(shè)，，則設(shè)，，（其中為雙曲線的半焦距，為，到軸的距離），∵，則∴，即，∴，，即點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線的方程為，將代入方程，得，①將，代入①式，整理得，，消去，得，所以，由于，所以，故，∴.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.【解析】（1）因?yàn)椋?所以，可得或，即或，所以，又因?yàn)?，所以?（2）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，可得，所以，又因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，可得，所以，無(wú)解，綜上，當(dāng)時(shí)，存在，使得；當(dāng)時(shí)，不存在，使得.18.【解析】（1）連接，∵，分別為直三棱柱的棱和的中點(diǎn)，且，∴，，∵，，∴， ∴，，∴，即，故以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，且，則，∴，，∴，即.（2）∵平面，∴平面的一個(gè)法向量為，由（1）知，，，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，∴，∴，又，∴當(dāng)時(shí)，平面與平面所成的二面角的余弦值最小，此時(shí)正弦值最大，故當(dāng)時(shí)，平面與平面所成的二面角的正弦值最大.19.【解析】（1）由，可得，則， 令，則再結(jié)合，解得∴，又，∴是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.（2）由（1）知，∴，∴.20.【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，令，得，則當(dāng)時(shí)，，有在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，有在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）我們先證明引理：，恒有且.引理的證明：設(shè)，.故只需證明，恒有，. 由于，知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，恒有.由于，知當(dāng)，均有，所以恒有，故在上單調(diào)遞增，則.所以，恒有.綜上，引理得證.回到原題：由（1）得，故只需證明：對(duì)，恒有，即.由引理得.命題得證.21.【解析】（1）由題意知，則，，，，所以的分布列為0123.（2）由（1）可知在一局游戲中，甲得3分的概率為，得1分的概率為，若選擇，此時(shí)要能獲得大獎(jiǎng)，則需次游戲的總得分大于，設(shè)局游戲中，得3分的局?jǐn)?shù)為，則，即. 易知，故此時(shí)獲大獎(jiǎng)的概率；同理可以求出當(dāng)，獲大獎(jiǎng)的概率為，因?yàn)?，所以，則，答：甲選擇時(shí)，獲獎(jiǎng)的概率更大.22.【解析】（1）設(shè)，，則的斜率，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，①又∵，即，∴，②比較①、②，所以恒過(guò)點(diǎn).（2）由（1）知，直線的方程為，①由，得，化簡(jiǎn)得，③ 比較①和③式，恒過(guò)點(diǎn)，又，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓的半徑，∴.又設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去得（其中，），∴，∴，令，則，令，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.∴，