湖南省長沙市長郡中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期月考六數(shù)學(xué)Word版含解析

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長郡中學(xué)2023屆高三月考試卷（六）數(shù)學(xué)試卷本試卷共8頁。時量120分鐘，滿分150分。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則A∩A．B．C．D．2.若復(fù)數(shù)z滿足，則的實(shí)部為A-2B．-1C．1D．2★3.函數(shù)的部分圖象大致是★4.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，其對稱中心O平分線段MN，且，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，則A．B．C．-2D．-3★5.隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運(yùn)動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升。某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動體驗(yàn)課程，甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件A=“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”事件B=“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件C=“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則A．A與B為對立事件B．A與C互斥C．B與C相互獨(dú)立D．A與C相互獨(dú)立

1★6.已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，底面△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且，三棱錐P-ABC的體積為，過點(diǎn)A作于M，過M作MN⊥PC于N，則三棱錐P-AMN外接球的體積為A．B．C．D．7.若，則A．2B．C．1D．8.已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域?yàn)镽。（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)，且f（x）-，若g（x）為偶函數(shù)，則以下四個命題，①；③；④中一定成立的個數(shù)為A．1B．2C．3D．4二、選擇題，全科試題免費(fèi)下載公眾號《高中僧課堂》本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9.已知定義域?yàn)镮的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，且使，則下列函數(shù)中符合上述條件的是A．B．C．D．10.記函數(shù)的最小正周期為T。，若為f（x）的零點(diǎn)，則

2A．B．ω<32n?1C．為f（x）的零點(diǎn)D．為f（x）的極值點(diǎn)11.拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上，則下列結(jié)論中在確的是A．當(dāng)時，B．若M（2，2），則的最小值為4C．若Q（-1，0），則的取值范圍為[1，]D．在直上存在點(diǎn)N，使12.在平面四邊形ABCD中，△ABD的面積是△BCD面積的2倍，又?jǐn)?shù)列{an}滿足，恒有，設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，則A．{an}為等比數(shù)列B．為等差數(shù)列。C．{an}為遞增數(shù)列D．三、填空題，本題共4小題，每小題5分，共20分★13.已知甲，乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：甲組：27，28，37，m、40，50；乙組：24，n，34，43，48，52。若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)，第50百分位數(shù)分別對應(yīng)相等，則=___________。14.若，且，則的最小值為___________，ab-的最大值為___________。（本題第一空2分，第二空3分）15.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB⊥平面PCD，則P-ABCD體積的最大值為___________。16.設(shè)A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，△ABC的外心為O，內(nèi)心為I，0，且與共線，若，則k=___________。

3四，解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列滿足，（1）證明：是等比數(shù)列（2）求數(shù)列的前2n項(xiàng)和。18.（本小題滿分12分）如圖，在平面四邊形ABCD中，（1）若DB平分∠ADC，證明：；（2）記△ABD與△BCD的面積分別為和，求的最大值。19.（本小題滿分12分）三棱臺ABC-的底面是正三角形，AA1⊥平面ABC，，E是AB的中點(diǎn)，平面交平面ABC于直線l。（1）求證：；（2）求直線B1C與平面A1C1E所成角的正弦值20.（本小題滿分12分）2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大，某商家決定借助線上平臺開展銷售活動，現(xiàn)有甲、乙兩個平臺供選擇，且當(dāng)每件商品的價為元時，從該商品在兩個平臺所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下。商品日銷售量（單位：件）678910甲平臺的天數(shù)1426262410

4乙平臺的天數(shù)1025352010假設(shè)該商品在兩個平臺日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響。（1）求“甲平臺日銷售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；（2）已知甲平臺的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺收費(fèi)30元；乙平臺的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過8件的部分，每件收費(fèi)35元。某商家決定在兩個平臺中選擇一個長期合作，從日銷售收人（單價×日銷售量一平臺費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由。21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，雙曲線C上一點(diǎn)P（3，1）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為O，滿足（1）求C的方程；（2）直線l與坐標(biāo)軸不垂直，且不過點(diǎn)P及點(diǎn)Q，設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為D，若，證明：直線l的斜率為定值。22（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，（2）記f（x）的零點(diǎn)為的極值點(diǎn)為x0，證明：。

5長郡中學(xué)2023屆高三月考試卷（六）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號12345678答案DCCDDAAC1.D【解析】因?yàn)?，，所以，所以。故選D2.C【解析】設(shè)復(fù)數(shù)。則，則由可得，解得，故，其實(shí)部為，故選C。3.C【解析】∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-）∪（-，）∪（，+∞）?！鄁（x）為偶函數(shù)，∴f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故排除A：在區(qū)間（0，）上，故，故排除B；當(dāng)x趨向于正無窮大時。趨向于負(fù)無窮大。故f（x）趨向于負(fù)無窮大，故排除D；綜上所述，只有C符合。故選C。4.D【解析】，故選D

65.D【解析】依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同，故A與B互斥不對立，A與C不互斥，所以，且P（AC），所以，即A與C相互獨(dú)立，B與C不相互獨(dú)立。故選D6.A【解析】由題可知△ABC中，，所以又PA⊥底面ABC，三棱錐P-ABC的體積為，所以，則。因?yàn)镻A⊥底面ABC，所，又，且，PA，AB平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又AM平面PAB，則，PB，BC平面PBC，所以AM⊥平面PBC，又PC，MN平面PBC，，又，平面AMN，所以PC⊥平面AMN，則三棱錐P-AMN的四個頂點(diǎn)可以與一個長方體的四個頂點(diǎn)重合，如圖所示：則該長方體的外接球即三棱錐P-AMN的外接球，設(shè)外接球半徑為R，故PA=2，R=4，所以，三棱錐P-AMN外接球的體積為43πR3=323π；故選A。7.A【解析】因?yàn)樗詓inasinβ=12cosα?β?cosα+β，所以sinα+βsinα?β=12cos2β?cos2α，又sinα+β?tanα?β=1，

7所以sinα+β?sinα?βcosα?β=1，即sinα+βsinα?β=cosα?β，所以，所以121?2sin2β?1+2sin2α=cosα?β，即sin2α?sin2β=cosα?β，又，所以所以，所以所以，即又易知，所以，即故選A。8.C【解析】∵，∴，又g（x）是偶函數(shù)，，兩邊求導(dǎo)得，∴（x）是奇函數(shù)，∴，即，（x）是周期函數(shù)，4是它的一個周期，，∴f（x）是周期函數(shù)，4是它的一個周期，（x）是周期為4的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，，所以。，因此，不能得出一定正確的有①②④，共3個。故選C。二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

8題號9101112答案ACADACBD9.AC【解析】對于A，的定義域?yàn)镽，所以f（x）為偶函數(shù)。又）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，故A符合；對于B，恒成立，故B不符合；對于C，的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），，所以f（x）為偶函數(shù)。又f12=?1<0，fx）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，故C符合；對于D，因?yàn)榈亩x域?yàn)樗詅（x）為奇函數(shù)，故D不符合。故選AC。10.AD【解析】∵∴）得，故A正確；由題意得∴∴又∵，則當(dāng)有唯一解，則，故B錯誤；∵，則，故C錯誤；，故D正確；故選AD。11.AC【解析】對A，不妨設(shè)A在第一象限，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線AM，BN，垂足M，N，作，則根據(jù)拋物線的定義可得故故，所以，故A正確；

9對B，如圖，由拋物線的定義，PF的長度為P到準(zhǔn)線的距離，故的最小值為|PM|與P到準(zhǔn)線距離之和的最小值，故的最小值為M到準(zhǔn)線距離，故B錯誤；對C，過P作PH垂直于準(zhǔn)線，垂足為H，則，由圖易得，故隨∠PQF的增大而增大，當(dāng)時P在O點(diǎn)處，此時取最小值1；當(dāng)PQ與拋物線相切時∠PQF最大，此時設(shè)PQ方程為，聯(lián)立有，此時解得，不妨設(shè)，則PQ方程為，此時傾斜角為。故的取值范圍為[1，]，故C正確；對D，設(shè)A（，），B（，），AB中點(diǎn)，故C到準(zhǔn)線的距離

10又，故，故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，又滿足的所有點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，易得此圓與無交點(diǎn)，故D錯誤。故選AC。12.BD【解析】如圖，連AC交BD于點(diǎn)E，則，即，所以，所以，所以，設(shè)因?yàn)?，所以，有所以，所以，即又，所以，所以{}是首項(xiàng)為2，公差為-2的等差數(shù)列，

11所以，所以因?yàn)椴皇浅?shù)，所以{}不為等比數(shù)列，故A不正確；因?yàn)?，所以{}為等差數(shù)列，故B正確；因?yàn)?，所以{}為遞減數(shù)列，故C不正確；因?yàn)樗运运?Sn=2?4?2n×21?2??n+2?2n+1=6+n?3?2n+1，所以，故D正確。故選BD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.【解析】因?yàn)?0%×6=1.8，50%×6=3，所以第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為34+432，即m=40，所以。14.25（第一空2分，第二空3分）【解析】由，可知a?b>0，b?1>0，a?b+4b?1=a+3b?4=5?4=1，≥17+24b?1a?b?4a?bb?1=25，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最小值為25。又1=a?b+4b?1≥2a?b?4b?1=4a?b?b?1，當(dāng)且僅當(dāng)a?b=4b?1=12時，等號成立，所以，故的最大值為。15.【解析】由題過點(diǎn)P做PE⊥CD，PF⊥AB分別交CD，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，

12過P做PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OE，OF，畫圖如下：∵PO⊥平面ABCD，∴∵，PO平面POE，PE平面POE，∴CD⊥平面POE，∴，∵底面ABCD是邊長為2的正方形，∴，∵OE平面ABCD，BC平面ABCD，∴同理可得：，故O，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且有EF//BC，EF=BC=2，設(shè)平面PAB∩平面∵，AB平面PAB，CD平面PCD，∴l(xiāng)//AB//CD∵∴∵平面PAB⊥平面PCD，平面PAB∩平面，∴PE⊥平面PAB，∵PF平面PAB，∴PE⊥PF不妨設(shè)PE=x，PF=y，OF=m，OE=2?m0≤m≤2∴①且OP2=PF2?OF2=PE2?OE2，即，化簡即：y2?x2=4m?4②聯(lián)立①②可得y2=2m，x2=4?2m，∴OP2=y2?m2=2m?m2?！嗨睦忮FP-ABCD的體積V=13×2×2×2m?m2=43?m?12+10≤m≤2，當(dāng)時。Vmax=43，故四棱錐P-ABCD體積的最大值為。16.2【解析】設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，過O，I分別作BC的垂線，垂足分別為M，D，則因?yàn)榕c共線，所以O(shè)M=ID=r，又因?yàn)椤螧OC=2∠A，∠BOM=∠A，所以BM=rtan∠A，因?yàn)?BM=BD+CD，所以，即，所以。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1317.【解析】（1）a2n+1=a2n?2n+2=a2n?1+1?2n+2=2a2n?1+2n?2?2n+2=2a2n?1，且，是首項(xiàng)為1，公比為2等比列。（2）由（1）知a2n?1=2n?1，a2n=a2n?1+1=2a2n?1+2n?2=2n+2n?2，∴a2n?1+a2n=3?2n?1+2n?2.。。。。。。。。分∴+0+2??+2n?2=31?2n1?2+2n?2n2=32n?1+n2?n=3?2n+n2?n?3.。。。10分18.【解析】（1）∵DB平分∠ADC，∴，則cos∠ADB=cos∠CDB，由余弦定理得即，解得BD2=4（3+1）。。。。。3分∵=，∴cosA=?cosC，又，∴A+C=π。（2）∵BD2=AB2+AD2?2AB?ADcosA=BC2+CD2?2BC?CdcosC，∴16?83cosA=8?8cosC，整理可得，S12+S22=12AD?ABsinA2+12BC?CDsinC2=12sin2A+4sin2C=12?12cos2A+4?4cos2C=16?12cos2A?43cosA?12=?24cos2A+83cosA+12=?24cosA?362+14∵∴當(dāng)時，S12+S22取得最大值，最大值為14.。。。。。12分19.【解析】（1）證法1：在三棱臺ABC-中AC//A1C1，又AC平面，平面，則AC∥平面，

14又AC平面ABC，平面ABC∩平面A1C1E=l，所以。。。5分證法2：在三棱臺ABC-中AC//A1C1又平面ABC，AC平面ABC，則∥平面ABC，。。2分又平面，平面ABC∩平面A1C1E=l，所以A1C1//l又AC//A1C1，所以。。。。。。分證法3：在三棱臺ABC-中，AC//A1C1，平面ABC//平面。又平面∩平面A1C1E=A1C1，平面ABC∩平面A1C1E=l，所以A1C1//l，又AC//A1C1，所以。。。。分（2）因?yàn)椤推矫鍭BC，在平面ABC內(nèi)作Ax⊥AC，以A為原點(diǎn)，AC，分別為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（2，2，0），E（，1，0），C（0，4，0），（0，0，），（，1，），（0，2，）設(shè)平面A1C1E的一個法向量為則，令，則，。。。8分設(shè)直線與平面所成角為θ，則直線與平面所角正弦值20.【解析】（1）令事件A=“甲平臺日銷售量不低于8件”，則，。2分令事件B=“

15從甲平臺所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”，則PB=C32352×25+C33353=81125。。。。。。5分（2）設(shè)甲平臺的日銷售收入為X，則X的所有可能取值為6a?240，7a?270，8a?300，9a?330，10a?360.所以，X的分布列為X6a-2407a-2708a-3009a-33010a-360P所以，；設(shè)乙平臺的日銷售收入為Y，則Y的所有可能取值為6a-240，7a-280，8a-320，9a-355，10a-390.所以，Y的分布列為：Y6a-2407a-2808a-3209a-35510a-390P所以，EY=6a?240×10100+7a?280×25100+8a?320×35100+9a?355×20100+10a?390×10100=7.95a?316。所以，EY?EX=0.05a?19，。。。10分令0.05a?19≥0得a≥380，令0.05a?19<0得a<380，所以，當(dāng)時，選擇甲平臺；當(dāng)a=380時，甲乙平臺均可；當(dāng)時，選擇乙平臺21.【解析】（1）設(shè)右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（c，0），則左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（-c，0），又P（3，1），Q（-3，-1）所以FP=3?c1，F(xiàn)Q=?3?c?1∴FP?FQ=3?c??3?c?1=c2?10=6?c2=16，∴（-4，0），F(xiàn)（4，0），|PF'|?|PF|=2a=49+1?2=42，∴，∴，∴雙曲線C的方程為。。。。。。4分（2）由題意知kPA?kPD=?1，且kPB?kPD=b2a2=1，∴kPA+kPB=0。法一：將雙曲線平移至，即∴P平移至（0，0），A，B分別平移至（，），（，）設(shè)直線的方程為mx+ny=1，代入雙曲線x2?y2+6x?2ymx+ny=0，∴

16兩邊同除以x2?2n+1?yx2+2m?6nyx?6m+1=0，∴kPA+kPB=kP'A'+kP'B'=y1x1+y2x2=6n?2m2n+1=0?m=3n，∴直線的方程為，∴3x+y=1n，故直線的斜率為-3，∴直線的斜率為定值-3.。法二：設(shè)直線l的方程為，A（，），B（，），由y=kx+tx28?y28=1，得，∴x1+x2=?2ktk2?1，x1x2=t2+8k2?1∴kPA+kPB=y1?1x1?3+y2?1x2?3=kx1+t?1x2?3+kx2+t?1x1?3x1?3x2?3=2kx1x2?3kx1+x2+t?1x1+x2?6t?1x1?3x2?3=0∴2k?t2+8k2?1?3k??2ktk2?1+t?1??2ktk2?1?6t?1=2k+6t+6k2+16k?6k2?1=0.∴2k+6t+6k2+16k?6=0，即k+3t+3k?1=0∴時恒成立，所以直線的斜率為定值-3.。。22.【解析】（1）記，①當(dāng)時，取h12<0，不符條件；。。。2分②當(dāng)時，h'x=2ax2?2x+1?a2x=2x?1ax?1+a2x令，得，令，得，∴h（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，所以，即，則a的取值范圍為4+4ln21+2ln2，+∞）。5分（2）∵g'x=2+a2x，令，則x0=?a4，4ex0=?ea，且f'x=2ax+1x，若，則恒成立，f（x）單調(diào)遞增，與f（x）有兩個零點(diǎn)矛盾，故令，得，令，得x>?12a，∴在上單調(diào)遞增，在?12a+∞上單調(diào)遞減，

17且∴，。。。。8分取，則f1=a<0，取，則，∴，取x=?1ea，則f?1ea=1e2a+ln?1ea，記t=?1ea，t>2，在中，?'t=1t?1e=e?tet，令得21x2，從而x1x2>1x2≥?ea=4ex0。。。。。12分

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