河南省鄭州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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2023－2024學(xué)年高二年級(jí)階段性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（）A.B.C.D.2.已知，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.3.如圖，在梯形中，，且，點(diǎn)為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)，，則向量=（）A.B.C.D.4.若直線與直線平行，則的值是（）A.1或B.C.D.或5.已知點(diǎn)，，，則下列向量是平面的法向量的是（） A.B.C.D.6.已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.7.在我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，鱉臑指的是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐.如圖，在塹堵中，，當(dāng)鱉臑的體積最大時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.8.在中，已知，若直線為的平分線，則直線的方程為（）A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列點(diǎn)中不在平面內(nèi)的是（）A.B.C.D. 10.已知點(diǎn)到直線的距離相等，則直線的方程可以是（）A.B.C.D.11.下列結(jié)論中正確的是（）A.若直線的方向向量為，直線的方向向量為，則B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.若兩個(gè)不同平面的法向量分別為，則D.若平面經(jīng)過三點(diǎn)，向量是平面的法向量，則12.已知?jiǎng)又本€，則下列結(jié)論中正確的是（）A直線恒過第四象限B.直線可以表示過點(diǎn)的所有直線C.原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是D.若與交于點(diǎn)，則的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)在直線上，且位于第一象限，若點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.14.已知點(diǎn)，，，則在上的投影向量的模為______.15.若三條互不重合的直線不能圍成三角形，則=______.16.在平面四邊形中，，等腰三角形底邊上的高，沿直線將向上翻折角至，若，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是______. 四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知直線經(jīng)過直線的交點(diǎn)．（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程;（2）若直線與直線垂直，求直線的方程．18.已知直線和直線，其中為實(shí)數(shù)．（1）若，求的值;（2）若點(diǎn)在直線上，直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，求直線的方程．19.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．（1）設(shè)平面的法向量為，求的值;（2）求異面直線與所成角的余弦值.20.已知直線．（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）若當(dāng)時(shí)，直線上點(diǎn)都在軸下方，求的取值范圍； （3）若直線與軸、軸形成的三角形面積為1，求直線的方程．21.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為線段與的交點(diǎn)，平面，，于點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．22.如圖，在三棱錐中，兩兩互相垂直，分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且（1）求證：平面．（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角為，若存在，求線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由． 2023－2024學(xué)年高二年級(jí)階段性測(cè)試（一）數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線方程為，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得參數(shù)值即得．【詳解】設(shè)直線方程為，又直線過點(diǎn)，所以，，即直線方程為．故選：B．2.已知，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線傾斜角為，根據(jù)題意求得，得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線，可得斜率為，即， 解得，即直線的傾斜角的取值范圍為.故選：B.3.如圖，在梯形中，，且，點(diǎn)為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)，，則向量=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知及幾何體中對(duì)應(yīng)線段的位置關(guān)系，應(yīng)用向量加減、數(shù)乘的幾何意義用表示出即可.【詳解】.故選：D4.若直線與直線平行，則的值是（）A.1或B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由直線與直線平行，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C. 5.已知點(diǎn)，，，則下列向量是平面的法向量的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】表示出向量，根據(jù)法向量定義，依次驗(yàn)證各選項(xiàng)中的向量與是否都垂直即可.【詳解】由題意知：，，對(duì)于A，，，與均垂直，是平面的一個(gè)法向量，A正確；對(duì)于B，，與不垂直，不是平面的一個(gè)法向量，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，與不垂直，不是平面的一個(gè)法向量，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，與不垂直，不是平面的一個(gè)法向量，D錯(cuò)誤.故選：A.6.已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，且，設(shè)點(diǎn)， 可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.7.在我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，鱉臑指的是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐.如圖，在塹堵中，，當(dāng)鱉臑的體積最大時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)鱉臑體積最大求出和的值，建系求出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量即可求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】在塹堵中，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)是等號(hào)成立， 即當(dāng)鱉臑的體積最大時(shí)，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為．故選：C．8.在中，已知，若直線為的平分線，則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱求解關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，即可根據(jù)兩點(diǎn)求解的方程,即可求解直線方程.【詳解】過作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則在直線上，設(shè)，根據(jù)且的中點(diǎn)在直線上，得，解得，所以，又，所以直線方程為，故方程為，故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列點(diǎn)中不在平面內(nèi)的是（）AB.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，依次判斷，，，是否為0即可.【詳解】對(duì)于A，，，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?對(duì)于B，，，所以與不垂直，又因?yàn)?平面，所以平面.對(duì)于C，，，所以與不垂直，又因?yàn)槠矫?，所以平?對(duì)于D，，，所以與不垂直，又因?yàn)槠矫?，所以平?故選：BCD10.已知點(diǎn)到直線的距離相等，則直線的方程可以是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意可得直線過線段的中點(diǎn)或，再逐一檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由點(diǎn)到直線的距離相等，得直線過線段的中點(diǎn)或，對(duì)于A，直線的方程為，即，故A選項(xiàng)符合；對(duì)于B，將線段的中點(diǎn)代入得，所以直線過線段的中點(diǎn)，故B符合；對(duì)于C，將線段的中點(diǎn)代入得，所以直線不過線段的中點(diǎn)，故C不符合；對(duì)于D，將線段的中點(diǎn)代入得，所以直線過線段的中點(diǎn)，故D符合.故選：ABD.11.下列結(jié)論中正確的是（）A.若直線的方向向量為，直線的方向向量為，則B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則 C.若兩個(gè)不同平面的法向量分別為，則D.若平面經(jīng)過三點(diǎn)，向量是平面的法向量，則【答案】AC【解析】【分析】由直線的方向向量垂直得直線垂直，由直線的方向向量與平面的法向量垂直得直線與平行的位置關(guān)系，由兩平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量與平面的向量垂直得參數(shù)關(guān)系，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】選項(xiàng)A，由于，即，∴，A正確；選項(xiàng)B，∵，所以或，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，，即，∴，C正確；選項(xiàng)D，，平面的法向量，則，，代入得，D錯(cuò)．故選：AC．12.已知?jiǎng)又本€，則下列結(jié)論中正確的是（）A.直線恒過第四象限B.直線可以表示過點(diǎn)的所有直線C.原點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是D.若與交于點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】CD【解析】【分析】A令判斷即可；B求出直線所過的定點(diǎn)判斷；C利用點(diǎn)線距離公式及二次函數(shù)性質(zhì)求范圍；D易知，則，應(yīng)用基本不等式、三角形三邊關(guān)系求范圍.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，顯然不過第四象限，錯(cuò)；B：由，令，則直線恒過， 由也過點(diǎn)，但對(duì)于直線，無論a取何值都不可能與直線重合，所以直線不可以表示過點(diǎn)的所有直線，錯(cuò)；C：原點(diǎn)到直線的距離，，則，對(duì)；D：由，即，如下圖，則，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)與重合時(shí)等號(hào)成立，故的取值范圍是，對(duì).故選：CD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知點(diǎn)在直線上，且位于第一象限，若點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)在直線上，可設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，則，整理可得，解得或， 當(dāng)時(shí)，位于第一象限，滿足題意；當(dāng)時(shí)，位于第四象限，不滿足題意，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.14.已知點(diǎn)，，，則在上的投影向量的模為______.【答案】【解析】【分析】首先求出、的坐標(biāo)，即可得到、，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，所以，，所以在上的投影向量的模?故答案為：15.若三條互不重合的直線不能圍成三角形，則=______.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意，分類討論三條直線交于一點(diǎn)和三條直線有兩條直線平行，即可得到答案.【詳解】當(dāng)三條直線交于同一點(diǎn)時(shí)，，即交點(diǎn)為.將代入，解得，直線為，與重合，舍去.當(dāng)與平行時(shí)，即，解得，舍去.當(dāng)與平行時(shí)，，解得， 此時(shí)直線為，符合題意.故答案為：416.在平面四邊形中，，等腰三角形的底邊上的高，沿直線將向上翻折角至，若，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】取AC中點(diǎn)O，連接OB，過點(diǎn)O作平面，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角的大小為，把直線AC與所成角的余弦表示為的函數(shù)，求出函數(shù)最大值作答.【詳解】因，所以，又因?yàn)檠切蔚牡走吷系母撸?，過作于H，連接，如圖，顯然，繞直線AC旋轉(zhuǎn)過程中，線段DH繞點(diǎn)H在垂直于直線AC的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)到， 取AC中點(diǎn)O，連接OB，因，有，，，過點(diǎn)O作平面，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，顯然有平面，設(shè)二面角的大小為，有，因?yàn)檠刂本€將向上翻折角至，且，所以，即，所以，則有，的方向向量為，設(shè)直線AC與所成的角為，于是得，因設(shè)二面角的大小為，，于是得，所以直線AC與所成角的余弦值的取值范圍是:.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于立體幾何的綜合問題的解答方法： （1）立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動(dòng)態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；（3）對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知直線經(jīng)過直線的交點(diǎn)．（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程;（2）若直線與直線垂直，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程.（2）根據(jù)直線垂直進(jìn)行解設(shè)方程，再利用交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由得，即直線和的交點(diǎn)為．直線還經(jīng)過點(diǎn)，的方程為，即．【小問2詳解】由直線與直線垂直，可設(shè)它的方程為．再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，解得，故直線的方程為. 18.已知直線和直線，其中為實(shí)數(shù)．（1）若，求的值;（2）若點(diǎn)在直線上，直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，求直線的方程．【答案】（1）或0（2）或．【解析】【分析】（1）利用直線垂直的條件分類討論斜率情況計(jì)算即可；（2）將點(diǎn)P坐標(biāo)帶入直線方程先計(jì)算得，再利用點(diǎn)斜式求截距，計(jì)算即可.【小問1詳解】若，則直線，即，，兩直線垂直，符合題意；若，則，解得．綜上，或0.【小問2詳解】由在直線上，得，解得，可得，顯然直線的斜率一定存在且不為0，不妨設(shè)直線的方程為，令，可得，再令，可得，所以，解得或，所以直線的方程為或，即或．19.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn)．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系． （1）設(shè)平面的法向量為，求的值;（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由法向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直（數(shù)量積為0）求解；（2）由空間向量法求異面直線所在角（求出兩異面直線的方向向量夾角的余弦值即可得）．【小問1詳解】由題可知，，則即解得；【小問2詳解】，∴，又， ∴，故異面直線與所成角的余弦值為．20.已知直線．（1）求證：直線過定點(diǎn)；（2）若當(dāng)時(shí)，直線上的點(diǎn)都在軸下方，求的取值范圍；（3）若直線與軸、軸形成的三角形面積為1，求直線的方程．【答案】（1）證明見解析（2）（3）或【解析】分析】（1）由直線方程觀察得定點(diǎn)坐標(biāo)即證；（2）由時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不小于0可得；（3）求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算三角形面積從而得直線的斜率，即得直線方程．【小問1詳解】由，得．由直線方程的點(diǎn)斜式可知，直線過定點(diǎn)；【小問2詳解】若當(dāng)時(shí)，直線上的點(diǎn)都在軸下方，則解得，所以k的取值范圍是；【小問3詳解】設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，得|，當(dāng)時(shí)，得， 所以，即，解得或，所以直線的方程為或．21.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為線段與的交點(diǎn)，平面，，于點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直可得線線垂直證得是等邊三角形，利用中位線的性質(zhì)證線線平行即可判定線面平行；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角即可.【小問1詳解】易知是的中點(diǎn)，∵平面，平面，∴，則．∵菱形的邊長為2，，易得， ∴，即，∴是等邊三角形，∵，∴是的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面；【小問2詳解】由（1）及條件易知兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則令，得，∴，結(jié)合圖可知，二面角為銳角，故其余弦值為. 22.如圖，在三棱錐中，兩兩互相垂直，分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且（1）求證：平面．（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，若存在，求線段的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接．證明平面平面后可得證線面平行；（2）分別以所在的直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)，由空間向量法求線面角，即可得出結(jié)論．【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接．∵為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴∥平面∵為中點(diǎn)，∴．∵分別為的中點(diǎn)，∴，則．∵平面，平面，∴平面， 又，平面，∴平面平面，∵平面，∴平面．【小問2詳解】由題知，可得底面，由題易知．∵90°，∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則不妨令，可得．設(shè)，則．由，解得，這與矛盾，故棱上不存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為.