浙江省嘉興市海鹽高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期返校測(cè)試數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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海鹽高級(jí)中學(xué)2021/2022學(xué)年高二第二學(xué)期返校測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線的斜率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直線的斜率公式可得答案.【詳解】直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則直線的斜率為.故選：D.2.拋物線準(zhǔn)線方程是（　?。〢.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用拋物線的準(zhǔn)線方程為即可得出．【詳解】由拋物線，可得準(zhǔn)線方程，即．故選：C．3.已知公差為的等差數(shù)列滿足，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和，即可得到答案.【詳解】∵數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，∴，∴. 故選：C4.已知直線與直線平行，則m的值為（）A.3B.C.3或D.3或4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行的判定得即可求m值，注意驗(yàn)證兩直線是否平行，而非重合.【詳解】由題設(shè)，，可得或，當(dāng)時(shí)，、平行，符合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，、重合，不合題設(shè)；∴.故選：B.5.已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得參數(shù)值.【詳解】由，得，又在點(diǎn)處的切線方程為，則，解得，故選：A.6.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出的面積是關(guān)于 的一個(gè)式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為..當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.7.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性排除不滿足的圖像，選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，由此可排除選項(xiàng)，故選：A.8.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓的離心率的最小值為（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用橢圓的定義和余弦定理可表示出，從而可得，再利用換元法將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，求出二次函數(shù)的最小值即可【詳解】設(shè)，令，則，，所以，所以，在中，，則由余弦定理得，所以，所以，令，由，可得，則，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以的最小值為故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目y要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在同一直角坐標(biāo)系中，直線與圓的位置可能的是（）A.B. C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、圓心坐標(biāo)，再結(jié)合圖形判斷作答.【詳解】直線與y軸正半軸交于點(diǎn)，排除選項(xiàng)B；直線與x軸交于點(diǎn)，而圓的圓心為，因此，直線過(guò)圓的圓心，排除選項(xiàng)D；當(dāng)時(shí)，圓心在x軸負(fù)半軸上，選項(xiàng)A滿足；當(dāng)時(shí)，圓心在x軸正半軸上，選項(xiàng)C滿足.故選：AC10.有一組樣本數(shù)據(jù)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，其中，為非零常數(shù)，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有、，即可判斷正誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.【詳解】對(duì)于A，且，故平均數(shù)不相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若第一組中位數(shù)為，則第二組的中位數(shù)為，顯然不相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故方差相同，故C正確；對(duì)于D，由極差的定義知：若第一組的極差為，則第二組的極差為，故極差相同，故D正確；故選：CD 11.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一點(diǎn)，滿足垂直于軸，且與以為直徑的圓相切于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義、圓的切線性質(zhì)，結(jié)合勾股定理逐一判斷即可.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，以為直徑的圓的圓心為，如圖所示：當(dāng)時(shí)，由（負(fù)值舍去），所以，因?yàn)閳A的半徑為，是圓的切線，顯然是也是圓的切線，因此有，所以選項(xiàng)B正確；在直角中，，由橢圓的定義可知：，顯然選項(xiàng)C不正確；由，化簡(jiǎn)得：，所以，，，，選項(xiàng)AD正確，故選：ABD 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用橢圓的定義，結(jié)合圓的切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.已知函數(shù)的極大值點(diǎn)為，則（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，令，或由極大值點(diǎn)為，討論得出關(guān)系，依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】,,令，或,由題意可知，.函數(shù)極大值點(diǎn)為，或.即或.所以，A正確，，B正確， ，時(shí)，正確，時(shí)錯(cuò)誤，則C錯(cuò)誤，，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若圓與圓相交，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓心距小于兩半徑之和，大于兩半徑之差的絕對(duì)值列出不等式解出即可.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓，即的圓心為，半徑為，由于兩圓相交，故，即，解得，即的取值范圍是，故答案為：14.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.【答案】【解析】【分析】利用的關(guān)系可求通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；顯然時(shí)也符合上式，所以.故答案為：15.已知點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．若，則______．【答案】7 【解析】【分析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)雙曲線的定義可求解.【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，由，可知點(diǎn)在雙曲線的左支，如下圖所示：由雙曲線定義有，又，所以.故答案為：16.已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且.若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，則的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】由，得，由對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，可得，，，然后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由，得，因?yàn)椋?，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)，有，所以，且，所以，， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是4，故答案為：4四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)，且被x軸正半軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為1∶2．（1）求圓C的方程；（2）已知點(diǎn)，是否存在弦被點(diǎn)P平分？若存在，求直線方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由已知得圓心C在直線上，設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)分別為E、F，則有，，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，由此求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)存在弦被點(diǎn)P平分，有，由此求得直線AB的斜率可得其方程再檢驗(yàn)，直線AB與圓C是否相交即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)，所以圓心C在直線上，設(shè)圓C與x軸的交點(diǎn)分別為E、F，由圓C被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為2∶1，得，所以，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)， 所以圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，有，所以點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，假設(shè)存在弦被點(diǎn)P平分，則，又，所以，所以直線AB的方程為，即，檢驗(yàn)，圓心C到直線AB的距離為，所以直線AB與圓C相交，所以存在弦被點(diǎn)P平分，此時(shí)直線的方程為.18.浙江省新高考采用“”模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，另外考生根據(jù)自己實(shí)際需要在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)門科目中自選門參加考試．下面是某校高一名學(xué)生在一次檢測(cè)中的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)，以組距分成組：，，，，，，，畫(huà)出頻率分布直方圖如下圖所示．（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）由頻率分布直方圖，求物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的第百分位數(shù)、眾數(shù).【答案】（1）（2）第百分位數(shù)為，眾數(shù)為【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形面積之和為1，列出方程，求解即可得出答案； （2）根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算可推得第百分位數(shù)位于之間，列出方程，求解即可得出.根據(jù)頻率分布圖中眾數(shù)的概念，即可得出.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，，解得【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可得，物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)?cè)谥g的頻率為，在之間的頻率為.所以，物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的第百分位數(shù)位于之間.設(shè)為，則有，解得.由頻率分布直方圖，物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的眾數(shù)為最高小矩形的中點(diǎn)，即230.19.已知等差數(shù)列中，，前5項(xiàng)的和為，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式將用，表示，可得通項(xiàng)公式，利用累加法結(jié)合等比數(shù)列求和公式求得通項(xiàng)公式；（2）由于，可用分組求和算得的前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以，所? 因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)滿足此式，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以.20.已知函數(shù)，．注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，求證：．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)研究函數(shù)的單調(diào)性；（2）二次求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)的極值和最值，證明出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又 21.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和;（3）已知，求證：.【答案】（1）;（2）（3）證明見(jiàn)詳解.【解析】【分析】（1）直接利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公差和公比的值，進(jìn)而求解；（2）把，化為，利用裂項(xiàng)相消法即可求解；（3）根據(jù)，利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前和，進(jìn)一步分析即可證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由于，故，又根據(jù)題意可得：，則，則，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?所以，所以【小問(wèn)3詳解】由（1）知，則，所以，設(shè)①，則②，①②得：，所以，則，原不等式得證.22.已知橢圓的離心率，過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線截橢圓所得到的線段的長(zhǎng)度為1． （1）求橢圓C的方程；（2）直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若y軸上存在點(diǎn)P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，解出即可；（2）設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面積可得答案.【小問(wèn)1詳解】令，得，所以，解得，，所以橢圓C的方程：．【小問(wèn)2詳解】 設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，因?yàn)闉橐訟B為斜邊的等腰直角三角形，所以且，聯(lián)立得，則．∴．又∵，∴，且，，∴，由得，∴．