湖南省常德市漢壽縣第一中學2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學 Word版含解析.docx

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湖南省常德市漢壽縣第一中學2023—2024學年高一上學期期中考試數(shù)學試題（時量：120分鐘滿分：150）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合A={1，2，5，7}，集合B={2，5}，那么下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的定義及運算逐項判斷即可【詳解】因為A={1，2，5，7}，集合B={2，5}，所以，B正確；D錯誤，C錯誤；A選項，集和與集合之間不能用屬于，所以錯誤.故選：B2.已知條件：，條件：，且是的充分不必要條件，則的取值范圍可以是AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由條件求得的范圍，結(jié)合充分不必要條件可得的范圍.【詳解】由：，：，要是的充分不必要條件，則有，故選：D．3.已知a、b、c∈R，那么下列命題中正確的是（）A.若ac>bc，則a>bB.若則ab3，則a>bD.若a2>b2，則a>b【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及特例法即可作出判斷.【詳解】對于A，若，，則，故A錯誤；對于B，若，，則但，故B錯誤； 對于C，若，此時，∴，故C正確；對于D，若取，，則，故D錯誤．故選：C．4.若有意義，則a取值范圍是（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的式子有意義，列式求解即得.【詳解】由有意義，得，解得，所以a的取值范圍是.故選：B5.已知使是真命題，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知在上能成立，參變分離，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)在上的最小值即可.【詳解】因為使是真命題，所以在上能成立，即在上能成立，設(shè)，開口向上，且對稱軸為，所以在上的最小值為，故，故選：C.6.函數(shù)是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實數(shù)的值為（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由冪函數(shù)的定義及單調(diào)性可得.【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，故得，解得或，又因為函數(shù)在上是減函數(shù)，故，所以，故選：A.7.若關(guān)于不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（????）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式解集的端點值，即為對應方程的根，從而得到系數(shù)之間的關(guān)系，從而求解.【詳解】試題分析：由的解集為，可得：，為：，解得為：.故選：D8.已知函數(shù)的定義域為R，對任意的，且，都有成立．若對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知得出函數(shù)的單調(diào)性，進而由不等式即可得出對任意恒成立.根據(jù)二次不等式恒成立，即可得出，化簡求解即可得出答案.【詳解】不妨設(shè)，則，由，可得，即，所以在R上單調(diào)遞增.由可得，，即對任意恒成立，所以，整理可得，解得或，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：C．二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)的有（）．A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義和基本初等函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可得解.【詳解】對于A：定義域為，關(guān)于原點對稱，是奇函數(shù)，不滿足題意； 對于B：定義域為R，關(guān)于原點對稱，，，是偶函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，滿足題意；對于C：定義域為R，關(guān)于原點對稱，，，是奇函數(shù)，不滿足題意；對于D：定義域為，關(guān)于原點對稱，，，是偶函數(shù)，當時，，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在上為增函數(shù)，滿足題意.故選：BD.10.若函數(shù)的定義域為，值域為，則實數(shù)的值可能為（）A.B.1C.D.2【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知條件及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，對稱軸為，當時，函數(shù)取得最小值為，或2時，函數(shù)值為，因為函數(shù)的定義域為，值域為，所以，實數(shù)t的可能取值為，，2.故選：BCD.11.下列說法正確的是（）A.函數(shù)在定義域上為減函數(shù)B.“”是“”的充分不必要條件C.冪函數(shù)在上是增函數(shù)的一個充分條件是D.是的必要不充分條件【答案】BCD 【解析】【分析】A.利用反比例型函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.利用命題法判斷；C.根據(jù)若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則判斷；D.利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷.【詳解】A.函數(shù)在上是減函數(shù)，故錯誤；B.命題若“”，則“”等價命題是命題若“”，則“”，原命題為真，逆命題為假，故充分不必要條件，故正確；C.若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則，故正確；D.若，則，故正確；故選：BCD12.定義，若函數(shù)，且在區(qū)間上的值域為，則區(qū)間長度可以是（）A.B.C.D.1【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)定義列不等式，得到的解析式，然后畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求出區(qū)間的長度即可.【詳解】令①，當時，不等式可整理為，解得，故符合要求，當時，不等式可整理為，解得，故，所以不等式①的解為；由上可得，不等式的解為或，所以，令，解得，令，解得或， 令，解得或，令，解得或，所以區(qū)間的最小長度為1，最大長度為.故選：AD.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.計算：______.【答案】##-0.25【解析】【分析】直接由分數(shù)指數(shù)冪以及根式互化運算，以及整數(shù)指數(shù)冪運算即可求解.【詳解】由題意.故答案為：.14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)及在區(qū)間上單調(diào)遞增，分別解不等式， ，進而可得出答案.【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，得，解得.由，得，解得或.所以，即或解得或，所以不等式的解集為.故答案為：.15.若關(guān)于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】分離參數(shù)，將不等式有解的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的問題，解不等式即可.【詳解】關(guān)于的不等式在上有解，等價于，在有解，等價于，，由一次函數(shù)的單調(diào)性，容易知.故只需即可.故答案為：.【點睛】本題考查不等式能成立求參數(shù)范圍的問題，涉及函數(shù)的最值求解，屬基礎(chǔ)題.16.已知正實數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足， 所以，當且僅當時取等號，故的最大值為，所以.故答案：四、解答題（本大題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.17.已知全集,集合，.(1)當時，求集合;(2)若,求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分別解出集合A，B，再由集合交集的概念得到結(jié)果；（2）由補集的概念得到集合B的補集，再由交集為空集列出不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當a=2時，，．（2），即故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查集合交，補的運算，以及由集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍．屬于基礎(chǔ)題.18.（1）已知a，b為正數(shù)，且滿足，求的最小值；（2）已知，求的最大值.【答案】（1）9；（2）1【解析】 【分析】（1）變換，展開利用均值不等式計算得到答案.（2）變換，再利用均值不等式計算得到答案.【詳解】（1）a，b為正數(shù)，且滿足，故，當且僅當，即，時等號成立，即的最小值為9.（2），，故，則，當且僅當，即時等號成立，故，當且僅當時等號成立，的最大值為1.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】19.20.在上遞增，證明見解析21.或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求得.（2）根據(jù)題意，用定義法證明函數(shù)單調(diào)性即可.（3）由題意可得，函數(shù)的值域為函數(shù)的值域的子集，并由集合的包含關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的不等式，從而得解.【小問1詳解】 因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，所以.【小問2詳解】在上遞增，證明如下：任取，因為，所以，，，所以，故在上遞增．【小問3詳解】由于對任意的，總存在，使得成立，所以的值域為的值域的子集．由（2）知：在上遞增，，所以，當時，在上遞減，在遞增，，，所以，由，得；當時，在上遞增，在遞減，，，所以，由，得．綜上所述，或．故若對任意的，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為：或. 20.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)在上的值域；（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)的定義域為，值域為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）由題意可得，，根據(jù)定義域為，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，求得函數(shù)的值域；（2）由條件可得二次函數(shù)的對稱軸為，分當時、當時、當時，當時四種情況，根據(jù)定義域為，值域為，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的值.【詳解】（1）∵函數(shù)，，∴，∵，∴在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴最小值為，而，∴函數(shù)的值域為．（2）①若時，，，②若時，，，不存在③若時，，，不存在④若時，，，不存在綜上知：.21.育人中學為了迎接建校70周年校慶，決定在學校藝術(shù)中心利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為米，底面積為平方米，且背面靠墻的長方體形狀的榮譽室.由于榮譽室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：榮譽室前面新建墻體的報價為每平方米元，左右兩面新建墻體報價為每平方米元，屋頂和地面以及其他報價共計元.設(shè)榮譽室的左右兩面墻的長度均為（米）.（1）將甲工程隊的整體報價（元）表示為長度（米）的函數(shù)；（2）當（米）取何值時，甲工程隊的整體報價最低？并求出最低整體報價； （3）現(xiàn)有乙工程隊也要參與此榮譽室的建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功（乙工程隊的整體報價比甲工程隊的整體報價更低），試求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2），元（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件計算出整體報價.（2）利用基本不等式對整體報價的最小值進行求解，同時求得對應的的值.（3）根據(jù)“乙工程隊的整體報價比甲工程隊的整體報價更低”列不等式，結(jié)合二次函數(shù)的知識求得的取值范圍.【小問1詳解】依題意得：.【小問2詳解】，當且僅當，即時等號成立.故當左右兩側(cè)墻的長度為米時，甲工程隊的報價最低為元.【小問3詳解】對任意的恒成立.從而對任意的恒成立，令，在上的最小值為，∴所以的取值范圍為：.22.已知二次函數(shù)，．（1）若關(guān)于x的不等式對恒成立，求a的取值范圍；（2）已知函數(shù)若對，使不等式 成立，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，結(jié)合均值不等式求的最小值，即可得出答案；（2）問題可轉(zhuǎn)化為，分別根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值即可.【小問1詳解】關(guān)于x的不等式對恒成立等價于對恒成立，∵，當且僅當即時等號成立，∴.所以實數(shù)a的取值范圍為；【小問2詳解】∵對，不等式成立，∴，∵在上單調(diào)遞增，∴.令，對稱軸為，∴.∴，則.故a的取值范圍為