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《江蘇省無錫市2024屆高三上學期期終教學質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學試題 Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
無錫市2023年秋學期高三期終教學質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已如集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式求得集合，結(jié)合交集運算，可得答案.【詳解】由題意集合，.故選：A.2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為（）A.第一象限B.第二象限C.笵三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的運算將化簡，從而可求對應的點的位置.【詳解】因為，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，易得該點在第四象限.故選：D.3.已知，是兩個不共線的向量，命題甲：向量與共線；命題乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】C【解析】【分析】利用向量共線定理即可判斷.【詳解】向量與共線等價于.因為，是兩個不共線的非零向量，所以，解得：.所以甲是乙的充要條件.故選：C.4.從甲地到乙地的距離約為，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時托油量（單位：）與速度（單位：（）的下列數(shù)據(jù)：04060801200.0006.6678.12510.00020.000為描述汽車每小時枆油量與速度的關系，則下列四個函數(shù)模型中，最符合實際情況的函數(shù)模型是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意以及表中數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點，即可判斷出最符合實際的函數(shù)模型．【詳解】依題意可知，該函數(shù)必須滿足三個條件：第一，定義域為；第二，在定義域上單調(diào)遞增；第三，函數(shù)經(jīng)過坐標原點.對于A選項：不經(jīng)過坐標原點，故A不符合;對于B選項：滿足以上三個條件，故B符合;對于C選項：在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故C不符合;對于D選項：當時，無意義，故D不符合;故選:B.
5.已知，設橢圓：與雙曲線：的離心率分別為，.若，則雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意及橢圓和雙曲線的離心率公式求得的值，寫出雙曲線的漸近線即可.【詳解】因為，結(jié)合離心率公式可得，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.6.已知直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且.若，分別是側(cè)棱，上的點，且，，則四棱錐的體積為（）A.B.2C.D.6【答案】A【解析】【分析】通過分析得到為四棱錐的高，計算體積即可.【詳解】取的中點，連接，由直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，且，所以易得，所以,又因為面，且面，所以,又因為且面，
所以面，故為四棱錐的高.易得到，四邊形的面積為,所以四棱錐的體積為,故選：A.7.已知是等比數(shù)列的前項和，且存在，使得，，成等差數(shù)列.若對于任意的，滿足，則（）A.B.C.32D.16【答案】D【解析】【分析】借助等比數(shù)列知識，利用，，成等差數(shù)列，求出，再利用，求出，再計算即可.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以即，即，
所以，因為數(shù)列是等比數(shù)列，且，所以，，所以，即，所以（無解）或，即又因為，所以，所以，所以，故選：D.8.已知函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù).令函數(shù)若存在唯一的整數(shù)，使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性定義求出，表示出，畫出圖象，分類討論即可.【詳解】令，，因為為奇函數(shù)，為偶函數(shù).所以，，所以可得，
同理可得，由得，所以，要滿足存在唯一的整數(shù)，使得不等式成立，而，當時，，顯然不成立，當時，要使只有一個整數(shù)解，因為所以，即.當時，要使只有一個整數(shù)解，因為,所以，即綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選:B.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.第一組樣本數(shù)據(jù)，第二組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中（），則（）A.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)的2倍B.第二組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第一組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)的2倍C.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差的2倍D.第二組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差是第一組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差的2倍【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和標準差的性質(zhì)以及中位數(shù)和極差的概念可得答案.【詳解】設樣本數(shù)據(jù)，的樣本平均數(shù)為，樣本中位數(shù)為，樣本標準差為，極差為，對于A,C選項：由，根據(jù)平均數(shù)和標準差的性質(zhì)可知，樣本數(shù)據(jù)，，…,的樣本平均數(shù)為，故A錯誤；樣本數(shù)據(jù)，，…,的樣本方差為，所以第二組數(shù)據(jù)的樣本標準差，故C正確；對于B選項：根據(jù)中位數(shù)的概念可知，樣本數(shù)據(jù)，，…,的中位數(shù)為，故B錯誤；對于D選項：根據(jù)極差的概念可知,樣本數(shù)據(jù)，，…，的極差為,故D正確.故選：CD.10.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.的圖象關于點對稱B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.將圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到的圖象
D.函數(shù)的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項：：將代入驗證即可；對于B選項：換元后結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)判斷即可；對于C選項：利用三角函數(shù)得圖象變換化簡整理即可；對于D選項：借助和差角公式計算即可.【詳解】對于A選項：將代入，得，故的圖象不關于點對稱,故選項A錯誤;對于B選項：在，令，則，因為，所以，根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知在單調(diào)遞增，故選項B正確；對于C選項：將圖象上的所有點向右平移個單位長度,可得到故選項C正確；對于D選項：,結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知：，故選項D正確.故選：BCD.11.已知過點的直線與拋物線：相交于、兩點，直線：是線段的中垂線，且與的交點為，則下列說法正確的是（）A.為定值B.為定值
C.且D.【答案】BD【解析】【分析】由兩直線位置關系設出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出點的坐標，代入即可判斷選項A和B，利用已知條件找出與的關系，結(jié)合即可判斷選項C和D.【詳解】由題意可知，直線的斜率存在且不為0，因為直線過點且與拋物線：相交于、兩點，直線：是線段的中垂線，所以設直線：，聯(lián)立方程，可得，所以,，所以的中點坐標，由題意可知，點是中點，所以，，因為在直線：上，所以，因為，所以，所以為定值，故選項B正確；因為是變量，所以不是定值，故選項A錯誤；因為，，所以，即，又因為，所以，即，解得或，故選項C錯誤；對選項D，由選項C可得，，所以，解得，故選項D正確.
故選：BD.12.已知在伯努利試驗中，事件發(fā)生的概率為，我們稱將試驗進行至事件發(fā)生次為止，試驗進行的次數(shù)服從負二項分布，記作，則下列說法正確的是（）A.若，則，B.若，則，C.若，，則D.若，則當取不小于的最小正整數(shù)時，最大【答案】ACD【解析】【分析】利用負二項分布的概念可判斷AB選項；利用二項分布和負二項分布的概率公式可判斷C選項；分析可得，結(jié)合負二項分布的概率公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，則，A對；對于B選項，因為，則，，B錯；對于C選項，因為從中取出個數(shù)的取法有種，
這些取法可按的值分類，即時的取法有種，所以，，因為，，設，則，所以，，C對；對于D選項，因為，最大，則，所以，，解得，所以，當取不小于的最小正整數(shù)時，最大，D對.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查負二項分布問題，解決本題的關鍵在于正確理解負二項分布的定義，知曉負二項分布的概率公式，結(jié)合負二項分布的概率公式求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線與圓相交于兩點，則______.【答案】【解析】【分析】首先求出圓的圓心坐標和半徑，計算圓心到直線的距離，再計算弦長即可.【詳解】圓，，圓心，半徑.圓心到直線的距離.
.故答案為：【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系中的弦長問題，熟練掌握弦長公式為解題的關鍵，屬于簡單題.14.隨著杭州亞運會的舉辦，吉祥物“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙位運動員要與“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”站成一排拍照留念，則這個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】先將甲、乙、丙位運動員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個吉祥物插入位運動員形成的個空位中，利用插空法可得出不同的排隊方法種數(shù).【詳解】先將甲、乙、丙位運動員排序，然后將“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”三個吉祥物插入位運動員形成的個空位的個空位中，所以，不同的排隊方法種數(shù)為種.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上值域為，則的值為______.【答案】【解析】【分析】先得到，根據(jù)得到，根據(jù)值域得到方程，檢驗后求出答案.【詳解】由題意得，當時，，由于在區(qū)間上的值域為，故①或②，解①得，滿足
解②得，不滿足，舍去，綜上，的值為.故答案為：16.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行且分別交軸于、兩點，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由可得出，利用弦長公式得出，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的值域，即可為所求.【詳解】當時，，，則，當時，，，則，因為函數(shù)的圖象在點和點處的兩條切線相互平行，則，即，則，，，所以，，令，其中，則，當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，，因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵在于利用切線斜率相等得出、所滿足的關系式，然后將轉(zhuǎn)化為含的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設數(shù)列滿足，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.【答案】17.證明見解析18.【解析】【分析】（1）整理題目中的等式，根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得答案；（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，利用累加法，可得答案.【小問1詳解】由，則，所以，由，，則故數(shù)列為等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知數(shù)列是以為首項，以3為公比，故，，
則；；.由累加法可得：，由，則18.在中，角的對邊分別為，，，已知的面積為.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）借助面積公式與余弦定理以及同角三角函數(shù)的平方關系計算即可.（2）借助三角函數(shù)的相關知識求出，利用配湊角及二倍角公式計算即可.【小問1詳解】結(jié)合題意：的面積為,，結(jié)合余弦定理可得：，所以，解得，所以.
【小問2詳解】因為，所以，易得為銳角，所以，所以，由上問可知,,所以，所以,整理得,即，解得（舍去），或.19.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，是線段的中點.（1）若，求證：平面；（2）若，，且平面與平面夾角的正切值為，求線段的長.【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）首先證平面ACD，通過證明四邊形BGFE是平行四邊形，得，進而得證；
（2）利用空間向量法求解即可【小問1詳解】取AC的中點G，連接BG、FG，因為，所以,又因為平面平面，平面ABC平面，，所以CD平面ABC，平面ABC，所以，因為，平面,所以平面ACD，又因為是線段的中點，所以且，且，所以且，四邊形BGFE是平行四邊形，所以，所以平面【小問2詳解】如圖建系因為，又，所以,又因為，，所以四邊形BCDE是直角梯形，所以設，所以，，，所以，，設平面ADE的一個法向量，所以，平面ABC的法向量，設平面ABC與平面ADE夾角為，
所以，，所以，所以，，所以20.為考察藥物對預防疾病以及藥物對治療疾病的效果，科研團隊進行了大量動物對照試驗.根據(jù)100個簡單隨機樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病未患病患病合計未服用301545服用451055合計7525100（1）依據(jù)的獨立性檢驗，分析藥物對預防疾病的有效性；（2）用頻率估計概率，現(xiàn)從患病的動物中用隨機抽樣的方法每次選取1只，用藥物進行治療.已知藥物的治愈率如下：對未服用過藥物的動物治愈率為，對服用過藥物的動物治愈率為.若共選取3次，每次選取的結(jié)果是相互獨立的.記選取的3只動物中被治愈的動物個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：，0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】20.藥物對預防疾病有效果.21.答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)公式算出卡方，與表格中的數(shù)據(jù)比較即可.（2）結(jié)合全概率公式先求概率，每名志愿者用藥互不影響，且實驗成功概率相同，X
服從二項分布求分布列和數(shù)學期望即可．【小問1詳解】零假設為:藥物對預防疾病無效果，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到,根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設不成立，即認為藥物對預防疾病有效果.【小問2詳解】設A表示藥物的治愈率，表示對未服用過藥物,表示服用過藥物由題，，，且，，.藥物的治愈率，則，所以，，，，X的分布列如下表所示X0123P．
21.在直角坐標系中，動點與定點的距離和到定直線：的距離的比是常數(shù)，記動點的軌跡為.（1）求的方程；（2）過動點（）的直線交軸于點，交于點（點在第一象限），且.作點關于軸的對稱點，連接并延長交于點.證明：直線斜率不小于.【答案】（1）;（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關于動點的軌跡表達式，化簡整理即可.（2）設直線的方程為,借助及韋達定理，求出的坐標，表示并化簡直線斜率，利用基本不等式計算即可.【小問1詳解】結(jié)合題意：設點到定直線：的距離為，則，所以，化簡得.故的方程為.【小問2詳解】由題意可知：直線的斜率存在，故可設直線的方程為，設,所以，，因為，所以，且在橢圓內(nèi)部.所以聯(lián)立，，
所以所以，，即點,因為，，所以，所以直線的方程可設為，設聯(lián)立，，所以，，故,所以直線斜率為結(jié)合題意可知，即，當且僅當，即時，直線斜率取得最小值.故直線斜率不小于.
22.已知函數(shù)（），為的導函數(shù)，.（1）若，求在上的最大值；（2）設，，其中.若直線的斜率為，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若，求得，得到，結(jié)合的符號，得到，即，進而求得函數(shù)的最大值；（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為任意，都有，令，得出對于恒成立，記，求得，分類討論，求得函數(shù)的函數(shù)與最值，即可求解.【小問1詳解】解：若，可得，則，即，可得，
當時，，所以在上單調(diào)遞增，又由，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即函數(shù)的最大值為.【小問2詳解】解：由，可得，因為，所以對任意且，都有，因為，可得，則，對任意且，令，則對于恒成立，由則對于恒成立，記，可得，①若，則，在單調(diào)遞增，所以，符合題意；
②若，則，當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增，所以，當時，，不符合題意（舍去），綜上可得，，即實數(shù)的取值范圍為【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
