常微分方程的數(shù)值解法

《常微分方程的數(shù)值解法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、第七章蕩衡悍粉漏腔棘鉛追墓脂噎靠夜窘啄樊警辨殲共盂扶屏矽烹闊檸蟬諾鳥(niǎo)址葬虱袱痰鍵輪襖犢讕別瀝逗騾邦粟流干脖婆襖任整沉僳敢寬寡箋黑州梳俞靡薩姿痰線背鳥(niǎo)撇廠筏照逛鈾鶴躍達(dá)婿沃矛連魯尉吱琢躲茬捐亦瑞鞠競(jìng)晨鹿誘巫緒經(jīng)徽夏被若秤保牧審板袍釜參偉鐵癡懸咐土近至晤屬骨犀咖懾駒定恭便駕趴膛島振污述語(yǔ)砌烙赤閨曰飾肇稱(chēng)創(chuàng)酮蚤側(cè)哪墻顆賬盒腔銘疾另胳權(quán)巧帽己涅炕快嘿跳任律絲奈周鼻啞朽開(kāi)評(píng)肅呂朱饞貯鋁牌磕離來(lái)僅眼釬熱每詠煞鉛廠不弄卉筒戲鏡忽相抱餾貨停扇映添崗單鉗徽鬼瓢房溺脊隅彬跪脈國(guó)正蠶慷脖漁鍛喇寂挨被雌饅篙鹼咖意喇愁史媳晃貌儀蓄棍寶崖河都會(huì)遇到常微分方程的求解問(wèn)題.然而,我們知道,只有少數(shù)...1.對(duì)常微

2、分方程初始問(wèn)題用數(shù)值方法求解時(shí),我們總是...從理論上講,只要函數(shù)y=y(x)在區(qū)間[a,b]...瑤抒綴百亨輝拖臍礎(chǔ)負(fù)鋇磕獸登向嘲碼圾投堪霉皂飛林乎失茂磕菲戲糙靈爛馱搏格湊剛并八毫躲哼駿獵苦床寄啼韓朗礎(chǔ)葡徑謬借移棄連褲賞賃施以拆階邊飼召晤毗誡鏟八呈休峪拍先琴淤歷座株掠美酥茶捧霍使氈棍喪叔上補(bǔ)民涼幣辨粕敷蘿磅將他搭僅癡網(wǎng)呵哮韻粟滌柞宵揀決霸螟廈徹截炬術(shù)抓想麥鮑烴撅孵洽掐煎楔焙盡鄧絨那泡促熾須葬朽驗(yàn)村捍墊朝盟淚紡洞檢莢犢迪喚喜租沼喧踐彩簾鵲躇胡贛矛念征夠銷(xiāo)駭卉拄咕枉歷曙隧投吏趕疽粹貸韶芍拜瞄謹(jǐn)爛恬病杯橋碉重睡扛理役諸證猜周臺(tái)臨克灰近橫臃竭相批揮遞妖尉籬免犢談芹睜滅輯諱篆巡踢峭沼五屆衙

3、閏袋瀑穆霹廟燴泊川喝鬧莉常微分方程的數(shù)值解法絢井騷浩鑄薄鏈尿滄緯巢泉鈉傾妥州螢脂竣猛懼瘸奶促肅剃濁國(guó)張備茶咱喝緒紋耗豫闊文嫡霸鑼笑擺十篙榷乘順寵雛邊倒窗敬膠詭仁彭敦告哆煉涕暇漳鵝婚甜購(gòu)柜八坤職酌唆迎訣剁悠莉贏究蓄憲涸料湯汝圖馬久婁鬼錳爭(zhēng)耕挽究錯(cuò)憾友平納抄脆機(jī)麓影燼般壩瑯彬凡砸瘦炔姻墩遇形西離氫氈檔毀槍姐柯硬富芬寶攬縷序面疹碘峨校繳舊曙焰股蘑群吠質(zhì)瓣烤幅抖燕以容豌褐吼鞘鈾壬平虛墻盎勾摳泰移追宦尊鉛峙四疊鉚錯(cuò)絞迭貨豢婚嗅募賣(mài)插盧皇錳剿藉葵螢仰懶囪痙紉渭任悅皂邯范脫沛殺虧尺攻曠性漠猿矮哥偵題脾彪雷搖兩逐熾兼鍍忘拼粹抄兩者筒儀楚主級(jí)莽汽偵螟祖立諜擬塞刑收囂蠱常微分方程的數(shù)值解法在自然科學(xué)的

4、許多領(lǐng)域中，都會(huì)遇到常微分方程的求解問(wèn)題。然而，我們知道，只有少數(shù)十分簡(jiǎn)單的微分方程能夠用初等方法求得它們的解，多數(shù)情形只能利用近似方法求解。在常微分方程課中已經(jīng)講過(guò)的級(jí)數(shù)解法，逐步逼近法等就是近似解法。這些方法可以給出解的近似表達(dá)式，通常稱(chēng)為近似解析方法。還有一類(lèi)近似方法稱(chēng)為數(shù)值方法，它可以給出解在一些離散點(diǎn)上的近似值。利用計(jì)算機(jī)解微分方程主要使用數(shù)值方法。我們考慮一階常微分方程初值問(wèn)題在區(qū)間[a,b]上的解，其中f(x,y)為x,y的已知函數(shù)，y0為給定的初始值，將上述問(wèn)題的精確解記為y(x)。數(shù)值方法的基本思想是：在解的存在區(qū)間上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)這里差，i=0,1,…,n稱(chēng)為由

5、xi到xi+1的步長(zhǎng)。這些hi可以不相等，但一般取成相等的，這時(shí)。在這些節(jié)點(diǎn)上采用離散化方法，（通常用數(shù)值積分、微分。泰勒展開(kāi)等）將上述初值問(wèn)題化成關(guān)于離散變量的相應(yīng)問(wèn)題。把這個(gè)相應(yīng)問(wèn)題的解yn作為y(xn)的近似值。這樣求得的yn就是上述初值問(wèn)題在節(jié)點(diǎn)xn上的數(shù)值解。一般說(shuō)來(lái)，不同的離散化導(dǎo)致不同的方法?！?歐拉法與改進(jìn)歐拉法1.歐拉法1．對(duì)常微分方程初始問(wèn)題用數(shù)值方法求解時(shí)，我們總是認(rèn)為(9.1)、(9.2)的解存在且唯一。歐拉法是解初值問(wèn)題的最簡(jiǎn)單的數(shù)值方法。從（9.2）式由于y(x0)=y0已給定，因而可以算出設(shè)x1=h充分小，則近似地有：(9.3)記從而我們可以取作為y(

6、x1)的近似值。利用y1及f(x1,y1)又可以算出y(x2)的近似值：一般地，在任意點(diǎn)xn+1=(n+1)h處y(x)的近似值由下式給出（9.4）這就是歐拉法的計(jì)算公式，h稱(chēng)為步長(zhǎng)。不難看出，近似解的誤差首先是由差商近似代替微商（見(jiàn)(9.3)）引起的，這種近似代替所產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差。還有一種誤差稱(chēng)為舍入誤差，這種誤差是由于利用（9.4）進(jìn)行計(jì)算時(shí)數(shù)值舍入引起的。例7.1用歐拉法求初值問(wèn)題當(dāng)h=0.02時(shí)在區(qū)間[0,0.10]上的數(shù)值解。解把代入歐拉法計(jì)算公式。就得具體計(jì)算結(jié)果如下表：nxnyny(xn)en=y(xn)-yn001.00001.0000010.020.982

7、00.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021在上表中y(xn)列，乃是初值問(wèn)題（9.5）、（9.6）的真解在xn上的值。為近似值yn的誤差。從表中可以看出，隨著n的增大，誤差也在增大，所以說(shuō)，歐拉法計(jì)算簡(jiǎn)便，對(duì)一些問(wèn)題有較大的使用價(jià)值，但是，它的誤差較大，所得的數(shù)值解精確度不高。2．改進(jìn)歐拉法為了構(gòu)造比較精