第4章 布爾代數(shù)和邏輯簡化 (2011)

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1、第4章布爾代數(shù)和邏輯簡化本章大綱4.1布爾運(yùn)算和表達(dá)式4.2布爾代數(shù)的定律和法則4.3狄摩根定理4.4邏輯電路的布爾分析4.5用布爾代數(shù)進(jìn)行簡化4.6布爾表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式4.7布爾表達(dá)式和真值表4.8卡諾圖4.9卡諾圖SOP最小化4.10卡諾圖POS最小化4.115變量卡諾圖本章學(xué)習(xí)目標(biāo)■應(yīng)用布爾代數(shù)的基本定律和法則■應(yīng)用狄摩根定理到布爾表達(dá)式■用布爾表達(dá)式描述邏輯門網(wǎng)絡(luò)■計(jì)算布爾表達(dá)式■使用布爾代數(shù)的定理和法則簡化表達(dá)式■變換任意的布爾表達(dá)式為乘積加和(SOP)形式■變換任意的布爾表達(dá)式為加和乘積(POS)形式■使

2、用卡諾圖簡化布爾表達(dá)式■使用卡諾圖簡化真值表函數(shù)■使用“無關(guān)緊要”條件簡化邏輯功能■在系統(tǒng)應(yīng)用中使用布爾代數(shù)和卡諾圖方法重要術(shù)語■變量■反碼■加和項(xiàng)■乘積項(xiàng)■乘積的加和(SOP)■加和的乘積(POS)■卡諾圖■最小化■“無關(guān)緊要”■PAL簡介1854年，喬治·布爾(GeorgeBoole)出版了一本著作，題目為《思想定律的調(diào)查研究并基于此建立了邏輯和概率的數(shù)學(xué)理論》。這篇著作中公式化的“邏輯代數(shù)”，今天被稱為布爾代數(shù)。布爾代數(shù)是表示以及分析邏輯電路運(yùn)算的一種方便而系統(tǒng)的方法?？藙诘隆は戕r(nóng)(ClaudeShannon)

3、第一次應(yīng)用布爾的工作來分析和設(shè)計(jì)邏輯電路。1938年，香農(nóng)在MIT寫了一篇論文，題目是《延遲和轉(zhuǎn)換電路的符號分析》。本章介紹了布爾代數(shù)的定律、法則和定理，以及它們在數(shù)字電路上的應(yīng)用。你將學(xué)習(xí)怎樣用布爾表達(dá)式來定義一個(gè)給定的電路，然后計(jì)算它的運(yùn)算。你還會(huì)學(xué)習(xí)怎樣使用布爾代數(shù)和卡諾圖來簡化邏輯電路。4.1布爾運(yùn)算和表達(dá)式布爾代數(shù)是關(guān)于數(shù)字系統(tǒng)的數(shù)學(xué)。布爾代數(shù)的基本知識對于學(xué)習(xí)和分析邏輯電路是必不可少的。在上一章中，對于非、與、或、與非以及或非門相關(guān)的布爾運(yùn)算和表達(dá)式已經(jīng)得到了介紹。本節(jié)復(fù)習(xí)了上述內(nèi)容并提供了附加的定義和信

4、息。學(xué)完本節(jié)之后，你應(yīng)當(dāng)能夠■定義變量■定義文字■識別加和項(xiàng)■計(jì)算加和項(xiàng)■識別乘積項(xiàng)■計(jì)算乘積項(xiàng)■解釋布爾加法■解釋布爾乘法布爾代數(shù)中所使用的術(shù)語為變量、反碼和文字。變量是用以表示邏輯量的符號（通常是斜體大寫字母）。一個(gè)單變量可以具有1或者0的數(shù)值。反碼是變量的反相，并且由變量——上方的橫杠（上劃杠）表示。例如，變量A的反碼是A。如果A=1，那么A=O。如果A—=0，那么A=1。變量A的反碼讀作“A非”或者“A橫杠”。有時(shí)候用撇符號而不是上劃杠來指示變量的反碼；例如，B?就表示B的反碼。在本書中，使用的是上劃杠。文字

5、是一個(gè)變量或者變量的反碼。在微處理器中，算術(shù)邏輯單元(ALU)根據(jù)程序的指令，對數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)執(zhí)行算術(shù)和布爾邏輯運(yùn)算。邏輯運(yùn)算等價(jià)于你所熟悉的門運(yùn)算，但是每次至少處理8位。布爾邏輯指令的例子為與、或、非和異或，它們被稱為助記符。匯編語言程序使用助記符來指定運(yùn)算。另一個(gè)稱為匯編器的程序?qū)⒅浄g成可以被微處理器理解的二進(jìn)制代碼。布爾加法□或門就是一個(gè)布爾加法器記得在第3章中，布爾加法等價(jià)于或運(yùn)算，其基本法則用或門表示如下：_在布爾代數(shù)中，加和項(xiàng)是文字的加和。在邏輯電路中，加和項(xiàng)由或運(yùn)算所生成，并沒有涉及到與運(yùn)算。加和項(xiàng)的一

6、些例子為A?B、A?B、A?B?C和A?B?C?D。當(dāng)加和項(xiàng)中有一個(gè)或者多個(gè)文字為1時(shí)，加和項(xiàng)就等于1。只有當(dāng)每個(gè)文字都是O時(shí)，加和項(xiàng)才等于0。示例4.1確定使得加和項(xiàng)A?B?C?D等于0的A、B、C和D的值。解：為了使的加和項(xiàng)為0，該項(xiàng)中的每一個(gè)文字都必須是0.所以A=0、B=1(使得B=0)、C=0以及D=1(使得D=0)相關(guān)問題：確定使得加和項(xiàng)A?B等于0的A和B的數(shù)值。答案在本章的結(jié)尾。布爾乘法□與門是一個(gè)布爾乘法器同樣從第3章中我們知道，布爾乘法等價(jià)于與門運(yùn)算，其基本法則用與門表示如下：在布爾代數(shù)中，乘積項(xiàng)

7、就是文字的乘積。在邏輯電路中，乘積項(xiàng)由與門運(yùn)算產(chǎn)生，而沒有涉及或運(yùn)算。乘積項(xiàng)的一些例子為AB、AB、ABC、以及ABCD。只有當(dāng)乘積項(xiàng)中的每一個(gè)文字都是1時(shí)，乘積項(xiàng)才等于1。當(dāng)一個(gè)或者多個(gè)文字為0時(shí)，乘積項(xiàng)就等于0。示例4.2確定使得乘積項(xiàng)ABCD等于1的A、B、C、D的數(shù)值。解：為了使得乘積項(xiàng)等于1，那么該項(xiàng)的每一個(gè)文字都必須是1.所以，A=1、B=0(使得—-B=1)、C=1、以及D=0(使得D=1)。相關(guān)問題：確定使得乘積項(xiàng)AB等于1的A和B的值。41節(jié)復(fù)習(xí)答案在本章的結(jié)尾。1．如果A=0，那么A等于多少？2．

8、確定使得加和項(xiàng)A?B?C等于O的A、B和C的數(shù)值。3．確定使得乘積項(xiàng)等于ABC等于1的A、B和C的數(shù)值。4.2布爾代數(shù)的定律和法則和其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域一樣，我們必須遵循一些開發(fā)完好的法則和定律以正確使用布爾代數(shù)。最重要的定律和法則將在本節(jié)得到介紹。學(xué)完本節(jié)之后，你應(yīng)當(dāng)能夠■應(yīng)用加法和乘法的交換律■應(yīng)用加法和乘法的結(jié)合律■應(yīng)用分配律■應(yīng)用布爾代數(shù)的12