亞波長(zhǎng)分形結(jié)構(gòu)光子帶隙的研究

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1、亞波長(zhǎng)分形結(jié)構(gòu)光子帶隙的研究徐杰諶導(dǎo)師：周磊摘要：我主要重復(fù)了周老師在平面分形結(jié)構(gòu)的亞波長(zhǎng)光子帶隙的研究上的一些工作，從基礎(chǔ)的分形以及介質(zhì)理論入手，對(duì)比例定律和局部共振進(jìn)行了模擬和實(shí)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，將理論、模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)合，形成完成了一個(gè)比較完整的本科生近代物理實(shí)驗(yàn)。光子帶隙材料（PBG）可以在特定的頻率范圍內(nèi)內(nèi)反射以任意角度入射的電磁波。傳統(tǒng)的光子帶隙材料利用布拉格散射原理來產(chǎn)生禁帶（forbiddenbandgap），為了減小邊界效應(yīng)，材料的厚度和邊界尺度必須是波長(zhǎng)的幾倍。對(duì)于微波，幾倍就意味著材料尺度需要達(dá)到1m以上的數(shù)量級(jí)，這顯

2、然不實(shí)用。選頻材料（FSS）利用一些金屬單元周期性排列來實(shí)現(xiàn)對(duì)于電磁波的反射，但相應(yīng)反射波長(zhǎng)仍然受到結(jié)構(gòu)元尺度的限制。分形結(jié)構(gòu)材料可以實(shí)現(xiàn)以亞波長(zhǎng)什么是亞波長(zhǎng)，要介紹一下，我們組里的人知道，但是別人不一定了解的尺度來產(chǎn)生多重光子帶隙。幾何上，分形是指任意大小的子圖形與原圖形完全一樣的圖形。我們研究的結(jié)構(gòu)是一種工字型的分形，構(gòu)型在如圖1中：這里展示的是一個(gè)11級(jí)分形，。分型結(jié)構(gòu)級(jí)數(shù)的定義如下：中間縱向最長(zhǎng)的一根為分形第1級(jí)，長(zhǎng)度記為a；橫向最長(zhǎng)為第2級(jí)，長(zhǎng)度為a，有兩根；縱向次長(zhǎng)的四根為第3級(jí)，長(zhǎng)度a/2；依次類推，分形的第n級(jí)有根，長(zhǎng)

3、度。實(shí)驗(yàn)上直接用平面電磁波（TEM）入射到分形板上來觀察透射系數(shù)（）以及相位，為了減小邊界效應(yīng)，分形板應(yīng)該做得盡可能大（微波實(shí)驗(yàn)中一般使用500mm*500mm左右的板）。模擬只能針對(duì)有限的尺度進(jìn)行，涉及到S參數(shù)輸出一般采用波導(dǎo)，為了使波導(dǎo)支持TEM模式，可以將其平行于平面的邊界面設(shè)為，平行于平面的邊界面設(shè)為。整個(gè)模擬及實(shí)驗(yàn)過程中隱含了一條很重要的比例定律（ScalingLaw），即某種結(jié)構(gòu)如果尺度擴(kuò)大一倍，那么相應(yīng)頻率需要縮小一倍。如圖2，（Lv為級(jí)數(shù)，a為分形第一級(jí)長(zhǎng)度）-13-a=64mm分形相當(dāng)于把a(bǔ)=32mm分形的尺度擴(kuò)大了

4、一倍，我們可以看到，相應(yīng)地，a=64mm分形在[0,4]GHz內(nèi)的反射率與a=32mm分形在[0,8]GHz內(nèi)的反射率一致反射率一致的說法有點(diǎn)問題，應(yīng)該是反射率峰值位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系。。圖1.工字型分形圖（11級(jí)）實(shí)驗(yàn)上，我們采用a=16mm的四級(jí)分形板與a=8mm的四級(jí)分形板來驗(yàn)證這一重要定律，為了做到完全地按比例擴(kuò)大，除了各級(jí)長(zhǎng)度以外，前者的介質(zhì)厚度、金屬條寬度都是后者的兩倍。如圖3，透射極小位置分別在3.16GHz（a=16mm）、1.596GHz（a=8mm），電場(chǎng)極化方向與分形第一級(jí)平行。我們首先通過模擬來研究7級(jí)分形的性質(zhì)，再

5、推廣到實(shí)際情況（無窮級(jí)）。分別在第1、2、3個(gè)反射極大（從左往右依次2.4528GHz、6.308GHz、20.909GHz）處觀察表面電流（如圖4），我們發(fā)現(xiàn)，低頻時(shí)，極化電流集中在分形的低級(jí)區(qū)域，隨頻率增大，極化電流會(huì)趨向于分布在更高級(jí)的區(qū)域中；并且在第1、2、3個(gè)反射極大時(shí)，電流正好集中在第1、3、5級(jí)區(qū)域中（注意到電場(chǎng)沿y方向極化，而分形的1、3、5級(jí)正是其在y方向的第1、2、3-13-圖2.比例定律（Lv=4,a=32mm與Lv=4,a=64mm）圖3.1ScalingLaw（Lv=4,a=8mm）-13-圖3.2Scali

6、ngLaw（Lv=4,a=16mm）圖4.不同頻率下表面電流分布（從左往右依次2.4528GHz、6.308GHz、20.909GHz）級(jí)），這就暗示我們這種分形結(jié)構(gòu)的介電常數(shù)應(yīng)該有的形式。而實(shí)際上，對(duì)于有局部共振的色散介質(zhì)，，是級(jí)的響應(yīng)頻率，是頻率，是常數(shù)。我們這里研究的是各向異性介質(zhì)，矩陣元-13-可以通過將整體當(dāng)做有效介質(zhì)模型處理后應(yīng)用轉(zhuǎn)移矩陣方法，利用與透射相位反解得到。在兩個(gè)響應(yīng)頻率之間，會(huì)有一個(gè)頻率處相鄰的兩個(gè)響應(yīng)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生同振幅但相差為的響應(yīng)，這時(shí)候響應(yīng)電流相互抵消，產(chǎn)生全透射。事實(shí)上，分形結(jié)構(gòu)不同級(jí)的局部共振正是其多重光

7、子帶隙產(chǎn)生的原因。為了驗(yàn)證分形的不同級(jí)的結(jié)構(gòu)只對(duì)特定的頻率產(chǎn)生共振，我模擬了a=32mm的四級(jí)板和a=64mm的六級(jí)板，前者正是后者的一個(gè)亞結(jié)構(gòu)，如圖5：圖5.分形的不同級(jí)對(duì)于不同頻率的響應(yīng)（Lv=4,a=32mm與Lv=6,a=64mm）正如前面所預(yù)見的，在低頻區(qū)域，6級(jí)比4級(jí)多了一個(gè)共振峰。這是因?yàn)?級(jí)比4級(jí)多出了長(zhǎng)度為16mm的第1、2級(jí)，而6級(jí)分形的1、2級(jí)結(jié)構(gòu)共振產(chǎn)生了第一個(gè)反射峰。實(shí)驗(yàn)上，我們用a=8mm的四級(jí)分形板與a=16mm的六級(jí)分形板來觀察分形不同級(jí)的響應(yīng)情況（前者正是后者的子結(jié)構(gòu)），如圖6，在3.16GHz附近，

8、透射極小位置幾乎重合；在1.169GHz處，六級(jí)分形多出了一個(gè)透射谷（deep）。另外有一些實(shí)驗(yàn)事實(shí)可以作為對(duì)以上理論的佐證。分別將四級(jí)分形板與六級(jí)分形板旋轉(zhuǎn)，由于喇叭的極化方向確定，這樣就相當(dāng)于把電磁波極化方向改變了。