上海市虹口區(qū)2013屆高三數(shù)學(xué)二模試卷(含答案_理科)

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1、虹口區(qū)2013年數(shù)學(xué)學(xué)科高考練習(xí)題(理科)（時(shí)間120分鐘，滿分150分）2013.4一、填空題（每小題4分，滿分56分）1、函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是．2、已知復(fù)數(shù)，則．3、已知，則．4、設(shè)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則．5、已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且漸近線方程為，則此雙曲線方程為．6、如果，則的最小值為．7、數(shù)列的通項(xiàng)，前項(xiàng)和為，則．8、設(shè)、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，則的面積等于．9、從集合的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè)，記取出的非空子集中元素個(gè)數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望．10、對(duì)于，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取

2、值范圍是．11、在中，，，，則9/9面積等于．12、將邊長為2的正方形沿對(duì)角線折起，以，，，為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大值等于．13、設(shè)，稱為整數(shù)的為“希望數(shù)”，則在內(nèi)所有“希望數(shù)”的個(gè)數(shù)為．14、已知函數(shù)的定義域是使得解析式有意義的的集合，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值均為正，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．二、選擇題（每小題5分，滿分20分）15、直線的傾斜角等于（）16、已知函數(shù)與直線相交，若在軸右側(cè)的交點(diǎn)自左向右依次記為，，，……，則等于（）17、若，，，如果有，，則值為（）．0118、正方體的棱上到異面直線，的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）2．3．4．5

3、．三、解答題（滿分74分）19、（本題滿分12分）如圖，平面，矩形9/9的邊長，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）如果，求異面直線與所成的角的大?。?0、（本題滿分14分）在中，角，，所對(duì)的邊長分別為，，，向量，，且．（1）求角；（2）若，求的面積的最大值．21、（本題滿分14分）已知復(fù)數(shù)，其中，，，是虛數(shù)單位，且，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求和：①；②．22、（本題滿分16分）已知拋物線：，直線交此拋物線于不同的兩個(gè)點(diǎn)、．（1）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，證明為定值；（2）當(dāng)時(shí)，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；9/9（3

4、）如果直線過點(diǎn)，過點(diǎn)再作一條與直線垂直的直線交拋物線于兩個(gè)不同點(diǎn)、．設(shè)線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，記線段的中點(diǎn)為．問是否存在一條直線和一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．23、（本題滿分18分）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)、都有成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間上是“凸函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)在上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；（2）如果函數(shù)在上是“凸函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對(duì)于區(qū)間上的“凸函數(shù)”，在上任取，，，……，．①證明：當(dāng)（）時(shí)，成立；②請(qǐng)?jiān)龠x一個(gè)與①不同的且大于1的整數(shù)，證明

5、：也成立．9/9虹口區(qū)2013年數(shù)學(xué)學(xué)科高考練習(xí)題答案（理）一、填空題（每小題4分，滿分56分）1、；2、2；3、；4、；5、；6、1；7、7；8、1；9、；10、；11、；12、；13、9；14、或；二、選擇題（每小題5分，滿分20分）15、；16、A；17、；18、；三、解答題（滿分74分）19、(12分)解：（1）連，由，得，同理，，由勾股定理逆定理得，．……………………3分由平面，得.由，，得平面．．…………6分（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、、．，，的大小等于異面直線與所成的角或其補(bǔ)角的大小．………………8分由，，，得，，，．異面直線與所

6、成的角的大小為．…………12分注：用向量解相應(yīng)給分．20、（14分）解：（1），，9/9，，……………………5分又，，，………………7分（2），，，即…9分，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．…12分，當(dāng)時(shí)，．…………14分21、（14分）解：（1），，．由得，………………3分?jǐn)?shù)列是以1為首項(xiàng)公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是以1為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列，，．……………………6分（2）①由（1）知，,數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．．………………9分②當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，又也滿足上式………14分9/922、（16分）解：（1）過點(diǎn)與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，由得，．……

7、………………4分（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，其中（若時(shí)不合題意）．由得．，從而．………6分從而，得，即，即過定點(diǎn)．………………8分當(dāng)直線的斜率不存在，設(shè)，代入得，，，從而，即，也過．綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)．…………10分（3）依題意直線的斜率存在且不為零，由（1）得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，代入得，即．由于與互相垂直，將點(diǎn)中的用代，得．…………12分設(shè)，則消得………………14分由拋物線的定義知存在直線，點(diǎn)，點(diǎn)到它們的距離相等．………16分23、（18分）解：（1）設(shè)，是上的任意兩個(gè)數(shù)，則．函數(shù)在上是“凸函數(shù)”．……4分（2）對(duì)于上的任意兩個(gè)數(shù)，，均有成

8、立，即9/9，整理得………………7分若，可以取任意值．若，得，，．綜上所述得．………………10分（3）①當(dāng)時(shí)由已知得成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等