淺議學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)

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1、淺議學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)在教學(xué)過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力已成為廣大教師普遍關(guān)心的問題.不少教師亦為此做了許多努力,但在工作中往往只注意知識的重現(xiàn),而不注意深化知識,揭示同類知識間的聯(lián)系;只注意搞大量的同一水平的重復(fù)練習(xí),不注意培養(yǎng)學(xué)生的各種能力.這樣,學(xué)生的思維能力得不到發(fā)展,教學(xué)效果欠佳是必然的.我擬就自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勅绾翁岢鰡栴},以誘導(dǎo)學(xué)生展開思維的體會.一、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用類比法解題所謂類比,就是當(dāng)遇到一個(gè)問題,一下子覺得不知如何解答,就可以回憶類似的老問題,而這個(gè)老問題的解法是你所熟悉的,再從這個(gè)老問題的解法中得到啟發(fā).所提供的類比能使學(xué)

2、生“溫故而知新”,不過舉例時(shí)要因人因題而異,既要切合學(xué)生實(shí)際,又要承上啟下,合乎邏輯,才能正確引導(dǎo)學(xué)生展開積極思維.例1:求證:正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)至各面所引四條垂線長之和等于四面體之高.6證明這個(gè)題目時(shí),若我們能聯(lián)想到平面幾何中相似的題目:“正三角形中任意一點(diǎn)到三邊之距的和等于這三角形的高”的證明過程,則本例幾乎可“照搬”這個(gè)過程,只不過一個(gè)是空間問題,一個(gè)是平面問題.證:設(shè)正四面體ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)O,由O至四個(gè)面所引垂線長分別為a、b、c、d,則四個(gè)小四面體體積之和等于所設(shè)四面體之體積,又由正四面體各面全等,設(shè)正四面體的高為h,則由·S(a+b

3、+c+d)=·S·h得:a+b+c+d=h,命題成立.由此可見,用類比法解題常常要展開豐富的聯(lián)想.二、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會聯(lián)想若直接應(yīng)用現(xiàn)成的知識解決不了問題,就要進(jìn)行聯(lián)想,在自己的腦子里尋找與題目接近的或很相似的原理、法則或結(jié)論,變通使用這些知識,看能否解決問題.教學(xué)中運(yùn)用聯(lián)想,猶如穿針引線,能使學(xué)生的知識前后連貫,由新憶舊,由舊憶新.例2:解方程:x+2xcos(x·y)+1=0,(x∈R,y∈R).解:本例乍看似乎難以下手,但若能聯(lián)想到實(shí)數(shù)的平方非負(fù)數(shù),即可用配方法解得:[x+cos(x·y)]+sin(x·y)=0,由x∈R,y∈R得x+cos(x

4、·y)=0sin(x·y)=0,∴原方程的解為:x=1y=2kπ+π(k∈Z)或x=-1y=2kπ(k∈z).例3:如圖1,P-ABC是三棱錐,三側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直,求證:S=S+S+S.若能想到用射影定理,證明本例就容易多了.證:作PD⊥平面ABC于D,連接CD,延長交AB于E,6則得S=AB·PE·AB·PE=AB·ED·AB·EC=S·S(PE=ED·EC)同理可證:S=S·S;S=S·S.以上三式相加,命題即得證.三、引導(dǎo)學(xué)生對疑難問題進(jìn)行討論在解題中,有時(shí)學(xué)生得出了錯(cuò)誤結(jié)論,但是多數(shù)學(xué)生都信以為真,這時(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)必有概念模糊,

5、盲目類比,亂套公式等問題存在.教師應(yīng)就學(xué)生的解題過程,加以層層剖析,通過問題質(zhì)疑,揭露其要害所在.同時(shí),還可發(fā)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行爭論,通過爭論,學(xué)生不但在有關(guān)問題上加深理解,而且會集中注意力,產(chǎn)生新的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)求知欲.例4:圓錐的母線長為2,軸截面頂角為135°,求過兩條母線的最大截面面積,并與軸截面面積加以比較.分析:關(guān)于比較軸截面與非軸截面面積的例子較少,一些學(xué)生想當(dāng)然認(rèn)為軸截面面積最大,其實(shí)不然.解:設(shè)ABC為圓錐的軸截面,則有AB=AC=2,∠BAC=135°,S=·2·2·sin135°=4·=2.過A作平面垂直于母線AB,交圓錐面于AD,A

6、D′,易證,AD=AD′,∠BAD=90°,∴最大截面面積為S=·2·2·sin90°=4,最大截面面積為4,軸截面面積比它小.6上述情況還可推廣到圓臺,即過圓錐(或圓臺)兩條母線的截面,當(dāng)圓錐頂角大于直角時(shí),則軸截面面積不是最大面積.四、引導(dǎo)學(xué)生在解題中精益求精在解題教學(xué)中,會遇到種種情況,有時(shí)學(xué)生的回答雜亂無章或殘缺不全,需要教師幫助、充實(shí)、整理;有時(shí)學(xué)生提出各種解法,但詳略不一,需要教師予以分析、講評,探求簡捷解法.這樣,才能使學(xué)生對“雙基”的運(yùn)用熟練精通,得心應(yīng)手,在掌握解題方法上精益求精.例5:已知三角形的三邊為a、b、c,外接圓半徑為R

7、,內(nèi)切圓半徑為r,求證:++≥.分析:對本題,我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生中有多種證法,但都十分繁雜,還有一些同學(xué)證明時(shí)有頭無尾,不了了之.這時(shí),我們就積極引導(dǎo),與學(xué)生一起探求最佳解法,收到了良好的效果.證:∵當(dāng)x、y、z為正數(shù)時(shí),(x+y+z)≥3(xy+yz+zx).∴++==(1)又S=(a+b+c)·r=∴a+b+c=,代入(1)得:++≥.五、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析與綜合6所謂分析,是將思維對象分成片段,逐段加以考察.用分析法來解題,就是先假定原命題成立,逐步推出一個(gè)已知真命題,若推理的各步均可逆,則可斷定所給的原命題成立;所謂綜合,是將分解的片段再聯(lián)合起來,

8、對整體加以認(rèn)識,用綜合法解題是直接從已知條件入手來考慮如何解題的.分析與綜合是相反相成的統(tǒng)一過程,有分析而無綜合,就得不到