小小空集不可忽視

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1、小小空集不可忽視　　摘要：在解題過(guò)程中，空集是一種特殊的集合，它在有關(guān)集合運(yùn)算中，起著十分重要的作用?？占侨魏我粋€(gè)集合的子集這一性質(zhì)容易被忽略，就可能導(dǎo)致錯(cuò)解和漏解。　　關(guān)鍵詞：空集；性質(zhì)；解題　　在解題過(guò)程中，空集是一種特殊的集合，它在有關(guān)集合運(yùn)算中，起著十分重要的作用?？占侨魏我粋€(gè)集合的子集這一性質(zhì)容易被忽略，就可能導(dǎo)致錯(cuò)解和漏解。本文從學(xué)生的作業(yè)中發(fā)現(xiàn)幾種忽視空集的情況，列舉出來(lái)，以期達(dá)到正確運(yùn)用空集的性質(zhì)解題的目的?！　∫弧](méi)理解空集的定義而忽略空集與集合的關(guān)系　　例1.判斷下列幾個(gè)命題，將正確的序號(hào)填在橫線上___________。　　①φ={0}②φ？哿A③φ∈{φ}　

2、?、躿x

3、y=x2+1}∪{（x，y）

4、y=x2+1}=φ　　解：①不正確，定義中說(shuō)φ不含有任何元素，{0}是含有一個(gè)元素0的單元素集合，不相等。②正確，φ是任何集合的子集。③正確，φ是個(gè)集合但它也可以看成{φ}中的一個(gè)元素，故可用屬于符號(hào)?！　、苷_，兩個(gè)集合代表元素不同，也不可能有公共元素，交集為φ?！　↑c(diǎn)評(píng)：本題涉及了φ的基本性質(zhì)，包括它的定義、與其他集合的關(guān)系等。從解析過(guò)程我們需要注意這幾方面：φ含元素個(gè)數(shù)為0而不是含有0元素、φ是任何集合的子集是任何非空集合的真子集、φ可以作為元素看待、集合代表元素不同交集為φ。這幾點(diǎn)，對(duì)于我們?nèi)嬲J(rèn)識(shí)φ很有幫助?！　〈鸢福篋　　二、沒(méi)理解空

5、集的性質(zhì)而忽視空集的存在　　例2.設(shè)集合A={x

6、x2+4x=0}，B={x

7、x2+2（a+1）x+a2-1=0}，若B？哿A，求實(shí)數(shù)a的范圍?！　〗猓篈={x

8、x2+4x=0}={0，-4}。由B？哿A，得B=φ，或{0}，或{-4}，或{0，-4}。　?、佼?dāng)B=φ時(shí)，Δ=4（a+1）2-4（a2-1）<0，解得a<-1。　?、诋?dāng)B={0}時(shí)，由兩根為0及韋達(dá)定理得2（a+1）=0a2-1=0，解得a=-1。　?、郛?dāng)B={-4}時(shí)，由兩根為-4及韋達(dá)定理得2（a+1）=8a2-1=16，無(wú)解。　　④當(dāng)B={0，-4}時(shí)，由韋達(dá)定理得2（a+1）=4a2-1=0，解得a=1?！　【C上①

9、②③④知，所求實(shí)數(shù)a的范圍為（-∞，-1]。　　點(diǎn)評(píng)：在對(duì)集合B討論時(shí)，不要只注意到單元素集合還要注意到φ的情況。本題充分體現(xiàn)了空集是任何集合的子集?！　【毩?xí)：（1）若集合P={x

10、x2+x-6=0}，S={x

11、ax+1=0}，且S？哿P，則由a的可取值組成的集合為_(kāi)_________?！　∪](méi)理解空集的實(shí)質(zhì)而忽視空集的存在　　例3.已知A={x

12、x2-3x-10≤0}，B={x

13、m+1≤x≤2m-1}，若A∪B=A，求實(shí)數(shù)m的范圍?！　〗猓篈={x

14、x2-3x-10≤0}，解得{x

15、-2≤x≤5}　?、偃鬽+1>2m-1，即m<2時(shí)，B=φ，適合題意?！　、谌鬽+1=2m-1，即m

16、=2時(shí)，B={3}，適合題意?！　、廴鬽+12時(shí)，要使B？哿A成立，只需2m-1≤5m+1≥-2　　解得-3≤m≤3。從而可得2

17、x2-x<6}B={x

18、0

19、-2

20、m

21、-2或m≥3即m≤-11或m≥3。　　那么A∪B≠φ，則-11

22、

23、x-a

24、<1，x∈R}，B={x

25、1