分塊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用論文

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1、分類號單位代碼11395密級學(xué)號0704210116學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）題目分塊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用作者王濤院(系)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師高宏偉答辯日期2011年5月31日摘要分塊矩陣是線性代數(shù)中非常重要的一部分內(nèi)容，分塊矩陣的性質(zhì)是解題最基本的依據(jù)，本文通過對各類典型例題的分析和處理，來論述分塊矩陣的幾個性質(zhì)及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：分塊矩陣，性質(zhì)，應(yīng)用。榆林學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）ABSTRACTThepartitionedmatrixislinearalgebraisanimportantpartofcontent,thenatureofpartition

2、edmatrixisthemostbasicbasis,solvingallkindsoftypicalexamplesinthispaperthroughtheanalysisandprocessing,discussessomepropertiesofpartitionedmatrixandtheapplicationinhighermathematics.Keywords：Thepartitionedmatrix,nature,applications.Ⅱ榆林學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）目錄摘要IABSTRACTII引言11分塊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用21.1分塊矩陣的基本知識及性質(zhì)21

3、.1.1分塊矩陣的定義及其分塊方法21.1.2分塊矩陣的幾個運算性質(zhì)41.2分塊矩陣的應(yīng)用81.2.1矩陣求逆81.2.2用分塊矩陣解決行列式問題91.2.3用分塊矩陣證明矩陣秩問題111.2.4在線性相關(guān)性及矩陣的分解中的應(yīng)用11結(jié)束語15參考文獻16致謝17III榆林學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）引言矩陣是高等代數(shù)中的一個重要內(nèi)容，也是研究數(shù)學(xué)的很多分支問題的工具之一，當(dāng)我們處理階數(shù)較高或具有特殊結(jié)構(gòu)的矩陣時，用處理一般低階矩陣的方法，往往比較困難，為了研究問題的方便，也為了顯示出矩陣中某些部分的特性，我們常把一個大型矩陣分成若干個子塊，把每個子塊看作一個元素，從而構(gòu)成一個分塊矩陣，這

4、是處理矩陣問題的重要技巧，利用矩陣的分塊，可以把高階矩陣劃分成階數(shù)較低的矩陣。本文就分塊矩陣的加法與數(shù)量乘法、乘法、轉(zhuǎn)置、初等變換等運算性質(zhì)，及分塊矩陣在矩陣求逆、行列式展開等方面的應(yīng)用作了較為深入的探討。17榆林學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）1分塊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用1.1分塊矩陣的基本知識及性質(zhì)下面我們逐一介紹分塊矩陣的定義、分塊方法及其它的運算性質(zhì)。1.1.1分塊矩陣的定義及其分塊方法(1)分塊矩陣的定義定義把一個矩陣A，在行的方向分成s塊，在列的方向分成t塊，稱為A的分塊矩陣，記作A=，其中（k=1,2,K,s;l=1,2,K,t）稱為A的子塊，它們是各種類型的小矩陣。例把一個5階矩

5、陣①用水平和垂直的虛線分成4塊，如果記：===0=就可以把A看作由上面4個小矩陣所組成，寫作：并稱它是A的一個分塊矩陣，其中的每一個小矩陣稱為A的一個子塊。(2)矩陣的分塊方法常用的矩陣分塊方法，除了上例中的4塊矩陣，還有以下幾種：1)按行分塊=其中=［…］i=1,2,…m2)按列分塊17榆林學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）=其中=j=1,2,k,s3)當(dāng)n階矩陣C中都集中在主對角線附近，有時也可以分塊成下面的對角塊矩陣（又稱準(zhǔn)對角矩陣）：C=其中是階方陣（i=1,2，k，m=n）如：=其中=，,;矩陣分塊的第一個好處就是使得矩陣的結(jié)構(gòu)顯得更清楚，如上面的矩陣①中，A的左上角是一個3階單位陣

6、，左下角是零矩陣。第二個好處（也是最重要的好處）是矩陣的運算可以通過小矩陣的運算進行，從而把高階矩陣的運算轉(zhuǎn)換為低階矩陣的運算，這在下面的研究會得到充分的體現(xiàn)。矩陣分塊的目的在于簡化矩陣的運算，對矩陣進行分塊時，要根據(jù)實際需要來進行。1.1.2分塊矩陣的幾個運算性質(zhì)下面我們逐一對分塊矩陣的加法與數(shù)量乘法、乘法、轉(zhuǎn)置以及初等變換這些性質(zhì)進行介紹:(1)分塊矩陣的加法與數(shù)量乘法設(shè)都是矩陣，并且對用同樣的方法進行分塊：17榆林學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）其中，都是矩陣，即，是同型矩陣，那么=設(shè)是矩陣，把進行分塊：，a為任意數(shù)，則a(1)分塊矩陣的乘法下面的定理表明，分塊矩陣的乘法類似于矩陣的乘

7、法。定理設(shè)是矩陣，是矩陣，若對作如下分塊：……==①則=，其中G=（i=1,2,…r;j=1,2,…t）②證明記…G=下面證明將G看作以數(shù)為元素的矩陣，有G=17榆林學(xué)院本科畢業(yè)設(shè)計（論文）首先，為矩陣，基于①的分塊方式及②式，為矩陣，且有++…+=m++…+=故將G看作以數(shù)為元素的矩陣，也是一個矩陣。其次，G的（i,j）元必位于分塊矩陣G的某一子塊之中，不妨設(shè)是的（，）元素，即有：i=++…++j=++…++③由②式有：=++……+可知的（，）元素應(yīng)是，