分塊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述信息與計(jì)算科學(xué)分塊矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)上,矩陣就是由方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣,把它用在解線性方程組上即方便又直觀.因?yàn)檫@些數(shù)字是有規(guī)則地排列在一起,形狀像矩形,所以數(shù)學(xué)家們稱之為矩陣,通過矩陣的變化,就可以得出方程組的解來(lái).矩陣這一具體概念是由19世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家凱利首先提出并形成矩陣代數(shù)這一系統(tǒng)理論的.但是追根溯源,矩陣最早出現(xiàn)在我國(guó)的《九章算術(shù)》中,在《九章算術(shù)》方程一章中,就提出了解線性方程各項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)按順序排列成一個(gè)長(zhǎng)方形的形狀,隨后移動(dòng),就可以求出這個(gè)方程的解.在歐洲,運(yùn)用這種方法來(lái)解線性方程組比我國(guó)

2、要晚2000多年.數(shù)學(xué)上,一個(gè)矩陣乃一行列的矩形陣列.矩陣由數(shù)組成,或更一般的由某環(huán)中元素組成,矩陣常見于線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析,以及組合數(shù)學(xué)等.矩陣的研究歷史悠久,拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究.作為解決線性方程的工具,矩陣也有不短的歷史.1693年,微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨建立了行列式論(theoryofdeterminants).1750年,加布里爾·克拉默其后又定下了克拉默法則.1800年,高斯和威廉·若爾當(dāng)建立了高斯—若爾當(dāng)消去法.1848年詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特首先創(chuàng)出matrix一詞.研究

3、過矩陣論的著名數(shù)學(xué)家有凱萊、威廉·盧云·哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮·諾伊曼.通過上面對(duì)矩陣歷史的了解我們發(fā)現(xiàn)矩陣是很容易理解和掌握的.然而,矩陣在實(shí)際應(yīng)用中還是會(huì)遇到很多問題,在實(shí)際生活中,我們的很多問題可以用矩陣抽象出來(lái),但這些矩陣一般都是高階矩陣,行數(shù)和列數(shù)都是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)字,因此我們?cè)谟?jì)算和證明這些矩陣時(shí)會(huì)遇到很煩瑣的任務(wù).這時(shí)我們得有一個(gè)新的矩陣處理工具,來(lái)使這些問題得到更好的解決！這時(shí)便產(chǎn)生了矩陣的分塊思想,分塊矩陣形象的揭示了一個(gè)復(fù)雜或是特殊矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)構(gòu).所謂矩陣分塊,通俗的說就是將比較復(fù)雜的矩陣按照一定的規(guī)

4、律分割成幾個(gè)較簡(jiǎn)單的小矩陣,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.這個(gè)過程就叫做矩陣的分塊.分塊矩陣可以用來(lái)降低較高級(jí)數(shù)的矩陣級(jí)數(shù),使矩陣的結(jié)構(gòu)更清晰明朗,3從而使一些矩陣的相關(guān)計(jì)算簡(jiǎn)單化,而且還可以用于證明一些與矩陣有關(guān)的問題.分塊矩陣應(yīng)用于矩陣的秩和一些相關(guān)矩陣方面的證明問題,以及求逆矩陣和方陣行列式的計(jì)算問題上,對(duì)矩陣進(jìn)行適當(dāng)分塊可以使高等代數(shù)中的許多計(jì)算與證明問題迎刃而解,所以分塊矩陣作為高等代數(shù)中的一個(gè)重要概念,我們需要透徹的了解分塊矩陣,在此基礎(chǔ)上較好地學(xué)會(huì)在何時(shí)應(yīng)用矩陣分塊,從而研究它的性質(zhì)及應(yīng)用是非常必要的.在文獻(xiàn)[3]中給出了分塊矩陣定義:把

5、一個(gè)矩陣,在行的方向分成塊,在列的方向分成塊,稱為的分塊矩陣,記作,其中,稱為的子塊,它們是各種類型的小矩陣.例:把一個(gè)5階矩陣,記:,=,,.則就可以看成由上面4個(gè)小矩陣所組成,記:=并稱它是的一個(gè)分塊矩陣,其中的每一個(gè)小矩陣稱為的一個(gè)子塊.常用的矩陣分塊方法,除了上例中的4塊矩陣,矩陣的分塊還有以下幾種常用的分法:(1)按行分塊=,其中,.(2)按列分塊=,其中,.(3)當(dāng)階矩陣中都集中在主對(duì)角線附近,3有時(shí)也可以分塊成下面的對(duì)角塊矩陣(又稱準(zhǔn)對(duì)角矩陣):C=,其中是階方陣(;).矩陣分塊的第一個(gè)好處是使得矩陣的結(jié)構(gòu)顯得更清楚,如上

6、面的矩陣(1)中,的左上角是一個(gè)3階單位陣,左下角是零矩陣.在文獻(xiàn)[4]中給出了第二個(gè)好處(也是最重要的好處)是矩陣的運(yùn)算可以通過小矩陣的運(yùn)算進(jìn)行,從而把高階矩陣的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為低階矩陣的運(yùn)算.分塊矩陣在線性代數(shù)中是一個(gè)基本工具,研究許多問題都要用到它.借助分塊矩陣的初等變換可以發(fā)現(xiàn)分塊矩陣在計(jì)算行列式、求逆矩陣及矩陣的秩方面的應(yīng)用.如定理:設(shè)是一個(gè)四分塊階矩陣,其中分別是、、、階矩陣.若可逆,則.若可逆,則.文獻(xiàn)[5-12]中還提到了有關(guān)分塊矩陣的一些用法,比如用分塊矩陣證明有關(guān)矩陣乘積的秩的定理:矩陣乘積的秩不超過其因子的秩,即且或者表

7、示成,其中表示矩陣的秩.還可以利用分塊矩陣求矩陣的行列式問題,比如利用分塊矩陣求高階行列式:設(shè)都是階矩陣,其中,并且,則.當(dāng)然要計(jì)算行列式,如果條件不同,則結(jié)果的表達(dá)形式也可以不同,這些性質(zhì)都可以通過分塊矩陣的方法來(lái)證明,并且用分塊矩陣的方法證明起來(lái)會(huì)顯得簡(jiǎn)潔明了,方便很多.此外也可以用分塊矩陣求矩陣的秩,求矩陣的逆矩陣,利用分塊矩陣證明一個(gè)矩陣是否為零矩陣等等.對(duì)于分塊矩陣的性質(zhì),有些也可以從行列式的性質(zhì)出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)的.分塊矩陣有非常廣泛的應(yīng)用,特別是利用分塊矩陣證明矩陣秩的性質(zhì)顯得非常簡(jiǎn)潔,可以使問題簡(jiǎn)化,而且方法也比較統(tǒng)一,有其獨(dú)

8、特的優(yōu)越性.3參考文獻(xiàn)[1]居余馬.線性代數(shù)[M].清華大學(xué)出版社,1992.[2]穆大祿,裴惠生.高等代數(shù)教程[M].山東大學(xué)出版社,1990.[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)[M].高等教育出版社.[4]