分塊矩陣的應(yīng)用研究文獻(xiàn)綜述

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1、文獻(xiàn)綜述分塊矩陣的應(yīng)用研究一、前言部分（說明寫作的目的，介紹有關(guān)概念、綜述范圍，扼要說明有關(guān)主題爭論焦點(diǎn)）本論文的重要目的是通過查閱各種相關(guān)文獻(xiàn)，尋找各種相關(guān)信息，來研究分塊矩陣的計(jì)算方法和分塊矩陣在化簡行列式、行列式運(yùn)算、求矩陣的特征值等方面的應(yīng)用，首先我們先來介紹一些概念：分塊矩陣的概念：當(dāng)矩陣的行數(shù)與列數(shù)較大時(shí),為便于運(yùn)算,有時(shí)把它分成若干個(gè)小塊,每個(gè)小塊是行數(shù)與列數(shù)較小的矩陣.把一個(gè)矩陣看作是由一些小塊矩陣所構(gòu)成,這就是矩陣的分塊.構(gòu)成分塊矩陣的每個(gè)小矩陣,稱為子塊.如對矩陣分塊如下其中記,則可表示為分塊矩陣矩陣的分塊可以有各種不同的分法.如矩陣A也可分塊如下:通過分塊矩陣的定義和概

2、念，我們將探討分塊矩陣的計(jì)算，并利用分塊矩陣的思想把分塊矩陣的應(yīng)用聯(lián)系到其它問題中.二、主題部分（闡明有關(guān)主題的歷史背景、現(xiàn)狀和發(fā)展方向，以及對這些問題的評述）作為解決線性方程的工具，矩陣已有不短的歷史.拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究.矩陣這一具體概念是由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出并形成矩陣代數(shù)這一系統(tǒng)理論的.但是追根溯源，矩陣最早出現(xiàn)在我國的＜九章算術(shù)＞中，在＜九章算術(shù)＞方程一章中，就提出了解線性方程各項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)按順序排列成一個(gè)長方形的形狀.隨后移動(dòng)處籌，就可以求出這個(gè)方程的解.在歐洲，運(yùn)用這種方法來解線性方程組，比我國要晚2000多年.1693年，微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德

3、?威廉?萊布尼茨建立了行列式論(theoryofdeterminants).1750年，加布里爾?克拉默其后又定下了克拉默法則.1800年，高斯和威廉?若爾當(dāng)建立了高斯—若爾當(dāng)消去法.1848年詹姆斯?約瑟夫?西爾維斯特首先創(chuàng)出matrix一詞.研究過矩陣論的著名數(shù)學(xué)家有凱萊、威廉?盧云?哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮?諾伊曼.分塊矩陣的引進(jìn)使得矩陣這一工具的使用更加便利，解決問題的作用更強(qiáng)有力，其應(yīng)用也就更廣泛.在矩陣的某些運(yùn)算中，對于級數(shù)比較高的矩陣，常采用分塊的方法將一個(gè)矩陣分割成若干個(gè)小矩陣，在運(yùn)算過程中將小矩陣看成元素來處理，對問題的解決往往起到簡化的作用.本文通過一些例子來說

4、明分塊矩陣的一些應(yīng)用.預(yù)備知識分塊矩陣的運(yùn)算:矩陣的分塊技巧性較強(qiáng)，要根據(jù)不通的問題進(jìn)行不同的分塊，常見的方法有四種：（1）列向量分法為的列向量.（2）行向量分發(fā)為的行向量.（3）分成兩塊其中分別為的若干行.（4）分成四塊對分塊矩陣可以進(jìn)行廣義初等變換，廣義初等變換分為三種：（1）交換分塊陣的兩行（或列）；（2）用一可逆矩陣乘以分塊矩陣的某一行（或列）；（3）用某一矩陣乘以某一行（或列）加到另一行（或列）.根據(jù)廣義初等變換的類型對應(yīng)三種廣義初等陣（1）;（2）均為可逆陣；（3）.分塊矩陣的加法計(jì)算時(shí)，若對分塊,則要求用子塊表出的應(yīng)同型且對應(yīng)位置的子塊也應(yīng)同型.如對矩陣分塊為則對也應(yīng)予以同型的

5、分塊從而按分塊相加，有由于因此分塊矩陣的乘法計(jì)算時(shí)，若對分塊，則要求用子塊表出的的列數(shù)等于用子塊表出的的行數(shù)且對應(yīng)的子塊與應(yīng)滿足如對矩陣分塊如下：可對分塊如下：則有由于所以分塊矩陣在矩陣中是一塊重要內(nèi)容，它是解決許多實(shí)際問題的提供方法，下面介紹個(gè)分塊矩陣在解決線性代數(shù)問題中的一些簡單應(yīng)用1.用分塊矩陣解決行列式問題在線性代數(shù)中,分塊矩陣是一個(gè)十分重要的概念,它可以使矩陣的表示簡單明了,使矩陣的運(yùn)算得以簡化.而且還可以利用分塊矩陣解決某些行列式的計(jì)算問題.而事實(shí)上,利用分塊矩陣方法計(jì)算行列式,時(shí)常會(huì)使行列式的計(jì)算變得簡單,并能收到意想不到的效果.這里給出利用分塊矩陣計(jì)算行列式的幾種方法.引理1

6、：設(shè)x，y為任意矩陣，則與都可分解為第三類初等矩陣的乘積.（即對單位矩陣僅僅施行第三類初等變換就可使它的右上角或左下角變成給定的任何矩陣）.證明：任取，把單位矩陣的第一列的倍，第2列的倍，……第m列的倍，都加到第列上去；這時(shí)，的右上角第一列變化成y的第一列.這相當(dāng)于對單位矩陣作了m次第三類列的初等變換.類似地，m次列的第三類初等列變換，可使的右上角第二列化為y的第二列，……因此.定理1（拉普拉斯定理）：設(shè)在行列式中任意取定了行，由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式.定理2設(shè)都是n階矩陣，則證：由于，由引理可分解為第三類初等矩陣的乘積.因此，用它右乘一個(gè)矩陣，

7、相當(dāng)于對進(jìn)行一系列的第三類初等列變換.從而不改變的值.所以兩邊均對后n列用拉普拉斯定理，得左邊右邊.例1求證：證明：由于由引理和拉普拉斯定理，兩邊取得列式，得.例2計(jì)算下面2n階行列式解令為n階方陣.由于，故A為可逆方陣.又易知從而得出1.利用矩陣分塊的方法求逆矩陣求矩陣的逆矩陣可以用伴隨矩陣或初等變換的方法來解決,而此類方法對于級數(shù)較高的矩陣運(yùn)算量較大,對某些矩陣可以適當(dāng)分塊后再進(jìn)行運(yùn)算,可起到事半功倍的作