分塊矩陣的應(yīng)用研究

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1、1引言在數(shù)學(xué)名詞中，矩陣（英文名Matrix）是用來(lái)表示統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等方面的各種有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù).這個(gè)定義很好的解釋了Matrix代碼是制造世界的數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ).數(shù)學(xué)上，矩陣就是方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣.把它用在解線性方程組上既方便，又直觀.例如對(duì)于方程組我們可以構(gòu)成一個(gè)矩陣因?yàn)檫@些數(shù)字是有規(guī)則的排列在一起，形狀像矩形，所以數(shù)學(xué)家們稱(chēng)之為矩陣，通過(guò)矩陣的變化，就可以得出方程組的解來(lái).數(shù)學(xué)上，一個(gè)矩陣乃一個(gè)行列的矩形陣列.矩陣由數(shù)組成，或更一般的，由某環(huán)中元素組成.矩陣作為數(shù)學(xué)工具之一有其重要的實(shí)用價(jià)值，它常用于很多學(xué)科

2、中.如：線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)分析，以及組合數(shù)學(xué)等.在實(shí)際生活中有許多問(wèn)題都可以借用矩陣抽象出來(lái)進(jìn)行表述并進(jìn)行運(yùn)算，如在各循環(huán)賽中常用的賽況表格等，矩陣的概念和性質(zhì)相對(duì)矩陣的運(yùn)算較容易理解和掌握，對(duì)于矩陣的運(yùn)算和應(yīng)用，則有很多的問(wèn)題值得我們?nèi)パ芯浚渲挟?dāng)矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相當(dāng)大時(shí)，矩陣的計(jì)算的證明中則會(huì)是一個(gè)很繁瑣的過(guò)程，因此這時(shí)我們得有一個(gè)新的矩陣處理工具，來(lái)使這些問(wèn)題得到更好的解決，矩陣分塊的思想由此產(chǎn)生，對(duì)級(jí)數(shù)較高矩陣的處理是矩陣的相關(guān)內(nèi)容中重要的一部分，分塊矩陣形象的揭示了一個(gè)復(fù)雜或是特殊矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)

3、構(gòu).本文即是通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)后總結(jié)并探討分塊矩陣在各方面的應(yīng)用，以計(jì)算和證明兩大方面為主.在已有的相關(guān)文件中，分塊矩陣的一些應(yīng)用如下：（1）從行列式的性質(zhì)出發(fā)，推導(dǎo)出分塊矩陣的若干性質(zhì)，并舉例說(shuō)明這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和證明中的應(yīng)用.（2）[第19頁(yè)共19頁(yè)]分塊矩陣在線性代數(shù)中是一個(gè)基本工具，研究許多問(wèn)題都需要它.借助分塊矩陣的初等變換可以發(fā)現(xiàn)分塊矩陣在計(jì)算行列式、求逆矩陣及矩陣秩方面的應(yīng)用.如：設(shè)是一個(gè)四分塊階矩陣，其中、、、分別是階矩陣，若可逆，可證，另若可逆，則可證得.（1）通過(guò)緒論證明矩陣的分

4、塊在高等代數(shù)中的應(yīng)用，包括用分塊矩陣證明矩陣乘積的秩的定理問(wèn)題，用分塊矩陣求逆矩陣問(wèn)題，用分塊矩陣求矩陣行列式的問(wèn)題，用分塊矩陣求矩陣的秩的問(wèn)題，利用分塊矩陣證明一個(gè)矩陣是零矩陣的問(wèn)題.如用分塊矩陣證明矩陣乘積的秩的定理：已知矩陣秩秩，且秩秩可證得秩.（4）利用分塊矩陣求高階行列式.如設(shè)、都是階矩陣，其中，并且，則可求得.（5）給出利用分塊矩陣計(jì)算行列式的方法，可分幾個(gè)方面討論，當(dāng)矩陣或可逆時(shí);當(dāng)矩陣=，=時(shí);當(dāng)與或與可交換時(shí)；當(dāng)矩陣被分成兩個(gè)特殊矩陣的和時(shí)，行列式的計(jì)算.（6）分塊矩陣有非常廣泛的應(yīng)用，特別利用分

5、塊矩陣證明矩陣秩的性質(zhì)顯得非常簡(jiǎn)潔，而且方法也比較統(tǒng)一，有其獨(dú)特的優(yōu)越性.本文將通過(guò)對(duì)分塊矩陣性質(zhì)的研究，比較系統(tǒng)的總結(jié)討論分塊矩陣在計(jì)算與證明方面的應(yīng)用，從而確認(rèn)分塊矩陣為處理很多代數(shù)問(wèn)題可以帶來(lái)很大的便利.2分塊矩陣及其性質(zhì)2.1分塊矩陣2.1.1分塊矩陣的定義用縱線與橫線將矩陣劃分成若干較小的矩陣：[第19頁(yè)共19頁(yè)]（2.1）其中每個(gè)小矩陣叫做的一個(gè)子塊；分成子塊的矩陣叫做分塊矩陣.2.1.2分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則在用規(guī)則（1）時(shí)，與的分塊方法須完全相同；用性質(zhì)（3）時(shí)，的列的分法與的行的分法須相同.2.2分塊

6、矩陣的性質(zhì)及其推論在行列式計(jì)算中，我們經(jīng)常用到下面三條性質(zhì)：（1）若行列式中某行有公因子，則可提到行列式號(hào)外面；（2）把行列式中的某行乘上某一個(gè)非零數(shù)，加到另一行中去，其值不變；（3）把行列式的某兩行互換位置，其值變號(hào).利用矩陣的分塊，我們可以把行列式的三條性質(zhì)在分塊矩陣中進(jìn)行推廣.性質(zhì)1設(shè)方陣A是由如下分塊矩陣組成（2.2）其中都是矩陣，又是任一級(jí)方陣，對(duì)于矩陣（2.3）則.[第19頁(yè)共19頁(yè)]證明：設(shè)為級(jí)單位矩陣，則于是性質(zhì)2設(shè)矩陣是由如下分塊矩陣組成（2.4）其中都是矩陣，又是任一級(jí)方陣，對(duì)于矩陣（2.5）則

7、證明：由=其中為級(jí)單位矩陣，對(duì)上式兩邊同時(shí)取行列式得性質(zhì)3設(shè)方陣和寫(xiě)成如下的形式：，其中都是矩陣，則：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)；-，當(dāng)為奇數(shù)時(shí).證明：可由中的與相應(yīng)的兩行對(duì)換而得到，而對(duì)換行列式得兩行，行列式反號(hào)，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)-[第19頁(yè)共19頁(yè)]可以證明，對(duì)于一般分塊矩陣也具有類(lèi)似的性質(zhì).同時(shí)，這些性質(zhì)不僅對(duì)行成立，對(duì)列也同時(shí)成立.推論1設(shè)都是階方陣，則有（2.6）證明：作2階行列式由拉普拉斯展開(kāi)定理得.又由性質(zhì)2并應(yīng)用于列的情況，有推論2設(shè)都是階方陣，則有（2.7）證明：根據(jù)性質(zhì)2并應(yīng)用于列的情況，有下面舉例說(shuō)

8、明這些性質(zhì)在行列式計(jì)算和證明中的應(yīng)用.例1計(jì)算2n階行列式解：令A(yù)=B=[第19頁(yè)共19頁(yè)].推論3設(shè)、、、都是階方陣，其中，并且，則有（2.8）證明：根據(jù)性質(zhì)2.因?yàn)榭赡?，并注意到，用乘矩陣的第一行后加到第二行中去得從而?計(jì)算行列式解：設(shè)其中.由計(jì)算知且，所以.把行列式的性質(zhì)在分塊矩陣中進(jìn)行推廣之后，我們又由這三個(gè)新的性質(zhì)得到三個(gè)結(jié)論.設(shè)、、、都是階方陣