分塊矩陣的性質(zhì)及其應用【文獻綜述】

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1、畢業(yè)設計文獻綜述信息與計算科學分塊矩陣的性質(zhì)及其應用數(shù)學上,矩陣就是由方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣,把它用在解線性方程組上即方便又直觀.因為這些數(shù)字是有規(guī)則地排列在一起,形狀像矩形,所以數(shù)學家們稱之為矩陣,通過矩陣的變化,就可以得出方程組的解來.矩陣這一具體概念是由19世紀英國數(shù)學家凱利首先提出并形成矩陣代數(shù)這一系統(tǒng)理論的.但是追根溯源,矩陣最早出現(xiàn)在我國的《九章算術》中,在《九章算術》方程一章中,就提出了解線性方程各項的系數(shù)、常數(shù)按順序排列成一個長方形的形狀,隨后移動,就可以求出這個方程的解.在歐洲,運用這種方法來解線性方程組比我國

2、要晚2000多年.數(shù)學上,一個矩陣乃一行列的矩形陣列.矩陣由數(shù)組成,或更一般的由某環(huán)中元素組成,矩陣常見于線性代數(shù)、線性規(guī)劃、統(tǒng)計分析,以及組合數(shù)學等.矩陣的研究歷史悠久,拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究.作為解決線性方程的工具,矩陣也有不短的歷史.1693年,微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德·威廉·萊布尼茨建立了行列式論(theoryofdeterminants).1750年,加布里爾·克拉默其后又定下了克拉默法則.1800年,高斯和威廉·若爾當建立了高斯—若爾當消去法.1848年詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特首先創(chuàng)出matrix一詞.研究

3、過矩陣論的著名數(shù)學家有凱萊、威廉·盧云·哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮·諾伊曼.通過上面對矩陣歷史的了解我們發(fā)現(xiàn)矩陣是很容易理解和掌握的.然而,矩陣在實際應用中還是會遇到很多問題,在實際生活中,我們的很多問題可以用矩陣抽象出來,但這些矩陣一般都是高階矩陣,行數(shù)和列數(shù)都是一個相當大的數(shù)字,因此我們在計算和證明這些矩陣時會遇到很煩瑣的任務.這時我們得有一個新的矩陣處理工具,來使這些問題得到更好的解決！這時便產(chǎn)生了矩陣的分塊思想,分塊矩陣形象的揭示了一個復雜或是特殊矩陣的內(nèi)部本質(zhì)結(jié)構(gòu).所謂矩陣分塊,通俗的說就是將比較復雜的矩陣按照一定的規(guī)

4、律分割成幾個較簡單的小矩陣,從而簡化運算.這個過程就叫做矩陣的分塊.分塊矩陣可以用來降低較高級數(shù)的矩陣級數(shù),使矩陣的結(jié)構(gòu)更清晰明朗,3從而使一些矩陣的相關計算簡單化,而且還可以用于證明一些與矩陣有關的問題.分塊矩陣應用于矩陣的秩和一些相關矩陣方面的證明問題,以及求逆矩陣和方陣行列式的計算問題上,對矩陣進行適當分塊可以使高等代數(shù)中的許多計算與證明問題迎刃而解,所以分塊矩陣作為高等代數(shù)中的一個重要概念,我們需要透徹的了解分塊矩陣,在此基礎上較好地學會在何時應用矩陣分塊,從而研究它的性質(zhì)及應用是非常必要的.在文獻[3]中給出了分塊矩陣定義:把

5、一個矩陣,在行的方向分成塊,在列的方向分成塊,稱為的分塊矩陣,記作,其中,稱為的子塊,它們是各種類型的小矩陣.例:把一個5階矩陣,記:,=,,.則就可以看成由上面4個小矩陣所組成,記:=并稱它是的一個分塊矩陣,其中的每一個小矩陣稱為的一個子塊.常用的矩陣分塊方法,除了上例中的4塊矩陣,矩陣的分塊還有以下幾種常用的分法:(1)按行分塊=,其中,.(2)按列分塊=,其中,.(3)當階矩陣中都集中在主對角線附近,3有時也可以分塊成下面的對角塊矩陣(又稱準對角矩陣):C=,其中是階方陣(;).矩陣分塊的第一個好處是使得矩陣的結(jié)構(gòu)顯得更清楚,如上

6、面的矩陣(1)中,的左上角是一個3階單位陣,左下角是零矩陣.在文獻[4]中給出了第二個好處(也是最重要的好處)是矩陣的運算可以通過小矩陣的運算進行,從而把高階矩陣的運算轉(zhuǎn)化為低階矩陣的運算.分塊矩陣在線性代數(shù)中是一個基本工具,研究許多問題都要用到它.借助分塊矩陣的初等變換可以發(fā)現(xiàn)分塊矩陣在計算行列式、求逆矩陣及矩陣的秩方面的應用.如定理:設是一個四分塊階矩陣,其中分別是、、、階矩陣.若可逆,則.若可逆,則.文獻[5-12]中還提到了有關分塊矩陣的一些用法,比如用分塊矩陣證明有關矩陣乘積的秩的定理:矩陣乘積的秩不超過其因子的秩,即且或者表

7、示成,其中表示矩陣的秩.還可以利用分塊矩陣求矩陣的行列式問題,比如利用分塊矩陣求高階行列式:設都是階矩陣,其中,并且,則.當然要計算行列式,如果條件不同,則結(jié)果的表達形式也可以不同,這些性質(zhì)都可以通過分塊矩陣的方法來證明,并且用分塊矩陣的方法證明起來會顯得簡潔明了,方便很多.此外也可以用分塊矩陣求矩陣的秩,求矩陣的逆矩陣,利用分塊矩陣證明一個矩陣是否為零矩陣等等.對于分塊矩陣的性質(zhì),有些也可以從行列式的性質(zhì)出發(fā)推導出來的.分塊矩陣有非常廣泛的應用,特別是利用分塊矩陣證明矩陣秩的性質(zhì)顯得非常簡潔,可以使問題簡化,而且方法也比較統(tǒng)一,有其獨

8、特的優(yōu)越性.3參考文獻[1]居余馬.線性代數(shù)[M].清華大學出版社,1992.[2]穆大祿,裴惠生.高等代數(shù)教程[M].山東大學出版社,1990.[3]北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)[M].高等教育出版社.[4]