rtehg_l談?wù)勁帕薪M合應(yīng)用題解題中的轉(zhuǎn)化策略

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2、_~吾嘗終日而思矣，不如須臾之所學(xué)也；吾嘗而望矣，不如登高之博見也。－－《荀子·勸學(xué)》談?wù)勁帕薪M合應(yīng)用題解題中的轉(zhuǎn)化策略(蕭山中學(xué)311201崔繼國)排列組合是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，近年來由于概率納入高中必修內(nèi)容部分，其地位也更加體現(xiàn)出來。排列組合問題是計(jì)數(shù)問題中的一種常見問題。由于其解法往往是構(gòu)造性的，因此方法靈活多樣，不同解法直接導(dǎo)致了問題解決的難易變化很大。而且解題過程出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的錯(cuò)誤較難自檢發(fā)現(xiàn)，因而對這類問題進(jìn)行歸納總結(jié)，并掌握一些常見類型問題的解題方法、解題策略顯得尤為重要。在數(shù)學(xué)問題的解決中，我們常常會通過數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，通過變更命題的形式、條件、背景

3、等等，促使問題更加熟悉、更加簡捷、更加方便解決。這里希望通過對一些具體的排列組合應(yīng)用題的解決來體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用，以使我們在解決此類問題時(shí)能更加具有靈活和有針對性。一、運(yùn)用模型，轉(zhuǎn)化問題背景問題模型化，常?？梢允箚栴}更加系統(tǒng)，容易解決。這里我們先看看以下的模型1（黑白球的排列問題）。（1）5個(gè)不同的白球、3個(gè)不同的黑球，排成一排，有多少種排列方法？（2）5個(gè)相同的白球、3個(gè)不同的黑球，排成一排，有多少種排列方法？（3）5個(gè)相同的白球、3個(gè)相同的黑球，排成一排，有多少種排列方法？不難發(fā)現(xiàn)他們的結(jié)果各不相同，本質(zhì)區(qū)別在于白球、黑球是否可辨別（即視為相同還是不同）。下面我們看看以下

4、的兩個(gè)例題。例1、（熄燈問題）某城市新建的一條道路上有12只路燈，為節(jié)約用電而不影響照明，可以熄滅其中三盞燈，但是兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，熄燈方法共有（）種。A.B.C.D.例2、（捷徑問題）如圖，在某個(gè)城市中，兩地之間有整齊的道路網(wǎng)，則從到最短路線的條數(shù)有（）A.B.NC.D.M例1中，直接考慮比較困難，但我們稍加變化，即能轉(zhuǎn)化成我們熟悉的問題，即：9個(gè)相同的A和3個(gè)相同的B排成一列，要求B不排在兩端，也不相鄰，此時(shí)只需將B插入到9個(gè)A中即運(yùn)用插空法可解決。例2中，本是確定從到最短路線的條數(shù)，正面去分類確定非常麻煩，如果轉(zhuǎn)化一下：將到的路線中，橫向記為A，縱向

5、記為B，那么就轉(zhuǎn)化為4個(gè)A和2個(gè)B的排列問題。當(dāng)然，很容易解決。以上兩例，都反映出問題背景的轉(zhuǎn)化，常常能變陌生為熟悉，大大增強(qiáng)我們解題的信心，也能夠使我們所學(xué)習(xí)的知識更加系統(tǒng)有序。二、適當(dāng)引參，轉(zhuǎn)化問題結(jié)論形式很多問題是我們熟悉的問題變化所產(chǎn)生的，如果能夠變更問題的結(jié)論形式，使他們與以前所學(xué)習(xí)的問題聯(lián)系起來，常常會起到事半功倍的效果。例3、先看這么兩個(gè)問題：問題1、求方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。問題2、求不等式的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。問題1可以聯(lián)系到模型：“將10個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同盒子”。這個(gè)模型可以運(yùn)用擋板法解決。即：用3個(gè)擋板插入到10個(gè)球中將其分開。但問題2就很難想到解決方法，可

6、能最容易想到的就是列舉法了，但列舉法解決的問題畢竟有限，數(shù)字稍微變大，就麻煩了。此時(shí)，如果考慮引進(jìn)參數(shù)，即設(shè)，這時(shí)問題2也就是問題1了，因?yàn)樗麄兪且灰粚?yīng)的。問題3、小明有10顆糖（不可辨），每天至少吃一顆，只至吃完，那么有多少種吃法？問題正面分類，考慮分幾天吃，那么問題就很復(fù)雜。轉(zhuǎn)化考慮方式，即10顆糖排成一列，每兩顆之間加一擋板，則分為兩天。不加擋板，即在一天吃完。因此，問題轉(zhuǎn)化為，九個(gè)間隔位置上是否加擋板。即吃法有。所以，在轉(zhuǎn)化時(shí)，通過對問題結(jié)論形式的變化，往往可以化繁為簡，化生為熟，有效解決問題。三、運(yùn)用集合語言，轉(zhuǎn)化問題敘述形式例4、（跑步問題）6名運(yùn)動員參加接力賽，要

7、求甲不跑第一棒且乙不跑第四棒，有多少種安排方法？本題在解決時(shí)，如果從集合角度來看問題，敘述成集合語言形式，可以更加明確、嚴(yán)密。比如：記A：甲跑第一棒，B：乙跑第四棒。所求就是6人參加中，既不滿足A也不滿足B的安排方法。對應(yīng)解法：=。即安排方法數(shù)為。也可以這樣：記A為甲不跑第一棒，B跑第四棒，即：?？梢?，同樣是運(yùn)用集合語言，解決方法也不盡相同。但可以肯定的是，運(yùn)用集合語言，常?？梢允箚栴}更加簡潔、具有普遍性。四、正難則反，轉(zhuǎn)換問題解決角度解題猶如攻城，必須知己知彼，正面的敵人多，相應(yīng)的反面自然會少。這里我們看如下的問題：例5、取正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中的4個(gè)可以構(gòu)成多少個(gè)三棱錐？本題在解

8、決時(shí)，由于正面情況不共面的四點(diǎn)組比較復(fù)雜，因此容易產(chǎn)生重復(fù)或者遺漏。然而，從反面考慮，即共面的四點(diǎn)組則比較少。即：。正難則反的策略在題目中出現(xiàn)“至少”或者“至多”時(shí)常常會起到避實(shí)就虛的功效。五、運(yùn)用對應(yīng)思想，變換命題結(jié)論形式在解決問題時(shí)，如果能和已解決過的問題建立起聯(lián)系，那么問題就會變得更加方便解決。例6、取正方體的棱和面對角線、體對角線可以組成多少對異面直線？如果真的直接考慮直線有幾條？再考慮異面直線有幾對？問題就會非常復(fù)雜，原因在于重復(fù)太多。此時(shí)，如果能和例5聯(lián)系起來，即不共