談?wù)劷忸}中的轉(zhuǎn)化策略

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1、談?wù)劷忸}中的轉(zhuǎn)化策略俗話說：“數(shù)學(xué)是思維的體操”，因此，數(shù)學(xué)的解題過程就是一個(gè)思維的過程，如果要求思維一定成功、思路暢通無阻是不可能的，那么當(dāng)我們的思維出現(xiàn)障礙，解題思路出現(xiàn)中斷時(shí)，如何正確有效地去化解這個(gè)思維障礙，及時(shí)迅速地找到延續(xù)解題過程的出路，創(chuàng)造出“柳暗花明又一村”的奇跡呢？解題實(shí)踐表明：“復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、陌生問題熟悉化、抽象問題具體化、一般問題特殊化”的策略，常常是十分行之有效的。1復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化根據(jù)認(rèn)識(shí)論原理，人們認(rèn)識(shí)問題總是從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從個(gè)別到一般的。所以，當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問題感到束手無策時(shí)，不妨采用退的策略，從復(fù)雜的問題退到最原始、最簡(jiǎn)單的問題，對(duì)它作

2、一些探索，借以觸發(fā)解題的靈感，暢通解題的思路；或者對(duì)原問題進(jìn)行分解轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)槿舾蓚€(gè)比較簡(jiǎn)單的問題，然后各個(gè)擊破，分而解之，逐步達(dá)到求解原問題的目的。例1設(shè)，求證：分析直接推證原不等式，難以入手，思路受阻。如果從待證結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，把它分解為三個(gè)不等式來推證，可以收到出奇制勝的效果。證明：因?yàn)樗詮亩眉赐砣较喑思吹美?已知數(shù)列，而數(shù)列的各項(xiàng)由如下關(guān)系確定：。若且為常數(shù)），求的值并證明數(shù)列是等差數(shù)列。分析要證明是等差數(shù)列，可以先退到特殊情況（例如）去考察，求出公差，再由特殊歸納出一般情況。由和令，有和故得或當(dāng)時(shí)，由得由式得即此與假設(shè)矛盾，故因此，只能有，此時(shí)，由得

3、再由得又由式得故若成等差數(shù)列，因其前三項(xiàng)依次為，所以它的首項(xiàng)為0，公差為，余下的問題是用數(shù)學(xué)歸納法實(shí)現(xiàn)“”的證明。這留給讀者去完成。2陌生問題熟悉化在遇到一個(gè)情景十分陌生的新問題，當(dāng)你感到一籌莫展時(shí)，不妨選擇一個(gè)與之類似的熟悉的問題，將它與新問題相比較，設(shè)法尋找出兩者之間的聯(lián)系和相似之處，從熟悉問題的方法和結(jié)論，去探求解決新問題的思路。例3已知。當(dāng)在區(qū)間內(nèi)任意取值時(shí)，的值恒為正，求的取值范圍。分析本題的情景陌生，變?cè)倍啵瑮l件與結(jié)論之間的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，初看很難下手，許多學(xué)生只能望題興嘆。如果令，當(dāng)時(shí)，有，則原函數(shù)式即為問題轉(zhuǎn)化為“關(guān)于的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的值恒正，求

4、的范圍”。這是我們十分熟悉的基本題型。由函數(shù)的圖像，得其充要條件為：所以有且即時(shí)，時(shí)，3抽象問題具體化數(shù)和形是一對(duì)孿生兄弟，許多問題直接從“數(shù)”（符號(hào)或關(guān)系）本身去求解，往往難以抓住問題的本質(zhì)。但若能從形的角度入手，挖掘問題的幾何特征，構(gòu)造一個(gè)幾何圖形，借助于圖形的性質(zhì)將抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系直觀化、形象化，可以使得隱含條件清晰可見，解題思路茅塞頓開。例4設(shè)是定義在區(qū)間上以為周期的函數(shù)，對(duì)，用表示區(qū)間，已知時(shí)，求在上的解析表達(dá)式對(duì)自然數(shù)，求集合分析將問題轉(zhuǎn)換為圖形語言來處理。第問就是：已知函數(shù)在內(nèi)的圖像是拋物線?。ㄈ鐖D1）根據(jù)是以為周期的函數(shù)，求在內(nèi)的圖像，并寫出其解析

5、式。從圖像上不難看出在內(nèi)的拋物線弧，可以看成是由拋物線弧向右平移個(gè)單位而得到。故有xoyABPL2HQ圖象如下：第（2）問可轉(zhuǎn)化為求實(shí)數(shù)，使直線與拋物線弧有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，有圖形可知問題和曲線弧有一個(gè)交點(diǎn)和曲線弧有一個(gè)交點(diǎn)且即得4一般問題特殊化因?yàn)槠毡槌闪⒌慕Y(jié)論在特殊情況下也成立，所以，當(dāng)解決一個(gè)一般問題感到困難時(shí)，可以先去研究包含在一般問題中的一個(gè)特殊的問題，通過對(duì)這個(gè)特殊問題的研究，去探明原問題的正確結(jié)論或摸索出解決原問題的正確途徑。例5已知：為常數(shù)，且，求證：是周期函數(shù)。分析此題難點(diǎn)在于不知道的周期是什么？若能探明的一個(gè)周期，則問題可迎刃而解。觀察已知等式的特點(diǎn)，聯(lián)想

6、，發(fā)現(xiàn)是滿足已知等式的一個(gè)特殊函數(shù)。由于的周期為，故可猜測(cè)在一般情況下，應(yīng)有為的一個(gè)周期，因而需證再回到特例，聯(lián)想到由此啟發(fā)我們先推導(dǎo)再得從而使原問題獲解。例6在中，成等差數(shù)列，求證：為定值。分析本題的“定值”沒有給出，如果直接證明，由于目標(biāo)不明確就可能得到一個(gè)錯(cuò)誤的值；也有可能因運(yùn)算失誤而得不到定值，因而懷疑命題是否為真命題（實(shí)踐證明，有不少同學(xué)常出現(xiàn)這種情況）。事實(shí)上，取，研究滿足題設(shè)條件的一個(gè)特殊三角形——正三角形，易得定值為1，從而為證明指明了方向。證明成等差數(shù)列，由正弦定理得即中，從而原式＝＝＝＝＝＝在教學(xué)的過程中，讓學(xué)生掌握化解思維障礙的基本策略，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的

7、思維能力、提高解題效益是大有裨益的。