解三角形題中的邊與的轉(zhuǎn)化策略

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1、.解三角形題中的邊與角的轉(zhuǎn)化策略舒云水解答一些解三角形的題目，常常需要運(yùn)用正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理等知識，將已知條件中的邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式或?qū)⒔堑娜呛瘮?shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，下面談?wù)劷馊切晤}中的邊與角轉(zhuǎn)化的常見策略﹒一、將角的正（余）弦關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式例1在⊿中，角、、所對的邊分別為、、，已知，，﹒求的值﹒分析：運(yùn)用正弦定理將三個角的正弦關(guān)系“”轉(zhuǎn)化為三條邊的關(guān)系“”，聯(lián)立“”與“”，解方程組即可求出、﹒解：由題設(shè)并利用正弦定理，得，解得，或﹒點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理將角關(guān)系“”轉(zhuǎn)化為邊關(guān)系“”是解本題的關(guān)

2、鍵﹒例2在△ABC中，、、分別為內(nèi)角、、的對邊，且﹒求A的大小﹒分析：本題已知條件“”是一個邊角混合等式，對于這種等式，一般有兩種轉(zhuǎn)化思路可考慮：一是將邊轉(zhuǎn)化為角；二是將角轉(zhuǎn)化為邊﹒..本題若將邊轉(zhuǎn)化為角，即將已知等式轉(zhuǎn)化為“”，再化簡求A比較困難﹒而將角化成邊“”，化簡得：，再利用余弦定理很容易求出A﹒解：由已知，根據(jù)正弦定理得，即．由余弦定理得：﹒故﹒點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理，將已知的邊角混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系式是解決本題的切入點(diǎn)、突破口﹒二、將邊的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式解答有關(guān)解三角形的問題，有時需要運(yùn)用正（余）弦定理，將已

3、知條件中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式例3設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、，且．求的值﹒分析：根據(jù)本題要求的結(jié)論，本題應(yīng)將已知條件的邊角混合關(guān)系式“”中的邊、、轉(zhuǎn)化為、、，再根據(jù)，進(jìn)一步化簡即可求出﹒解：根據(jù)以及正弦定理，可得，﹒因此，有，﹒..點(diǎn)撥：運(yùn)用正弦定理將已知的邊角混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只含角的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵﹒例4設(shè)的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、，且，．求邊長﹒分析：本題是一道求邊長的題目，先將兩個已知等式“”和“”整合，即將兩個等式左、右兩邊分別相除，再用正弦定理將轉(zhuǎn)化為，化簡求出，再進(jìn)一步求出、﹒解：將、兩式相除，有，又

4、通過知：，則，．點(diǎn)撥：解本題有兩個關(guān)鍵點(diǎn)：1.將兩個已知條件等式整合，相除；2.運(yùn)用正弦定理將轉(zhuǎn)化．前面分別談了將角轉(zhuǎn)化為邊與將邊轉(zhuǎn)化為角兩種思路．事實(shí)上，一些題目用兩種轉(zhuǎn)化方法都可以求解，有時還要綜合運(yùn)用上面兩種轉(zhuǎn)化方法，下面舉一例說明．例5在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、,已知，求的值．思路1：將邊轉(zhuǎn)化為角．運(yùn)用正弦定理將轉(zhuǎn)化為．解法1：在，由及正弦定理可得，即，..則，，而，則，即．思路2：將角轉(zhuǎn)化為邊．直接運(yùn)用余弦定理將、、轉(zhuǎn)化為邊，得到邊的關(guān)系式，再運(yùn)用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即可求出的值．解法2：在，由可得．由余弦定理

5、可得．整理可得，由正弦定理可得．三、三角形三個內(nèi)角之間的轉(zhuǎn)化根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及已知條件，用已知角來表示待求角，也是解三角形問題中常用的轉(zhuǎn)化策略．例6在中，、、的對邊分別是、、，已知.（1）求的值；(2)若，求的值．分析：題目所給已知條件關(guān)系式是邊、角混合式，（1）小題若運(yùn)用余弦定理化角為邊，求解較難．適宜運(yùn)用正弦定理化邊為角，得到關(guān)系式：，..再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理將轉(zhuǎn)化為，便可容易求出．（1）小題已求出，為已知角，為待求角，關(guān)鍵是要運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理將轉(zhuǎn)化為，化簡得=，再根據(jù)平方關(guān)系，便可求出．解：（1）由及正弦定理得，所以．（2

6、）．由得，展開易得=．又，所以．化簡整理得，，．點(diǎn)撥：注意角之間的轉(zhuǎn)化，將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為是成功解答本題的關(guān)鍵．練習(xí)：1.中，角、、所對的邊分別為、、．若..，則．2.中，角、、所對的邊分別為、、，，．求．3.△ABC的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，asinAsinB+bcos2A=a，求．答案：1.；2.；3.．.