淺談行列式計算的幾種技巧

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1、淺談行列式計算的幾種技巧專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)06-1班姓名：麥水清指導(dǎo)老師：李春香摘要：任何一個n階行列式都可以由它的定義去計算其值。但由定義可知，n階行列式的展開式有n!項，計算量很大，一般情況下不用此法，但如果行列式中有許多零元素，可考慮此法。其實，計算行列式并無固定的方法，同一個行列式可以有多種不同的方法進(jìn)行計算．因此，除了掌握好行列式的基本性質(zhì)外，針對行列式的結(jié)構(gòu)特點，選取恰當(dāng)?shù)姆椒?，才能較快地解出其值。本文用（1）化三角形法，（2）降階法，(3)升階（加邊）法，(4)分項（拆開）找遞推公式，(5)利用公式det(AB)=det(A)det(B)計算行列式的值，(6)利用公式det

2、（I=det(IBA)計算行列式的值，(7)利用方陣特征值與行列式的關(guān)系七種方法來計算行列式,計算其值。關(guān)鍵詞：行列式、元素、降升階、遞推公式引言：關(guān)于行列式計算的問題，本文用（1）化三角形法，（2）降階法，(3)升階（加邊）法，(4)分項（拆開）找遞推公式，(5)利用公式det(AB)=det(A)det(B)計算行列式的值，(6)利用公式det（I=det(IBA)計算行列式的值，(7)利用方陣特征值與行列式的關(guān)系七種方法來計算行列式。降階法、升階法、分項遞推法、公式法等其它方法來變換行列式，再通過我們熟悉的上三角形或下三角形計算其值。下面介紹行列式計算的一些技巧（1）化三角形法11化

3、三角形法是將原行列式化為上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上（下）三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。例1：計算行列式通過觀察，從第1列開始，每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的，根據(jù)行列式的性質(zhì)，先從第n-1列開始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。解:（2）降階法A、利用行（列）初等變換。1）交換兩行（列）；2）某行（列）乘以k倍；3）某行（列）的k倍加到另一行（列）上去。B、看行和（列和），如行和相等，則均可加到某列上去，然后提

4、出一數(shù)。C、逐行相減（加）D、找遞推公式，注意對稱性。11E、Laplace展開。例2：利用降階法計算n階行列式解：按第一列展開，得+（-1）這里的第一個n-1階行列式與有相同的形式，把它記作；第二個n-1階行列式等于（-1），所以=x+a這個式子對于任何n(2)都成立，因此有=x+a=x(x+a)+a=x+ax+a=……=x+ax+…+ax+a但==x+a,所以=x+ax+…+a把行列式的計算歸結(jié)為形式相同而階數(shù)較低的行列式的計算，是一個常用的方法。我們再用這個方法來計算一個常要用到的行列式。例3：計算一個n階范德蒙德（Vandermonde）行列式Dn=解：由最后一行開始，每一行減去它

5、的相鄰的前一行乘以a，得11D=若在一個n階行列式中，第i行（或第j列）的元素除a外都是零，那么這個行列式等于a與它的代數(shù)余子式A的乘積，所以D=提出每一列的公因子后，得D=（a-a）（a-a）…（a-a）最后的因子是一個n-1階的范德蒙德行列式，我們用D代表它：D=（a-a）（a-a）…（a-a）D同樣得：D=（a-a）（a-a）…（a-a）D此處D是一個n-2階的范德蒙德行列式，如此繼續(xù)下去，最后得D=（a-a）（a-a）…（a-a）（a-a）（a-a）…（a-a）……（a-a）(3)升階（加邊）法=（這里調(diào)一下）這里升階是為了降階，在*處加上所需要的數(shù)，即刻可以簡化detA的計算，用

6、此方法時注意行列式階數(shù)的變化。11例4：解：原行列式可化為=將第一行上的元素乘以（-1）加到一下各行，得再將第2列起各列上的元素均加到第1列上去，得=1+a+a+…+a(4)分項（拆開）找遞推公式=+其中（j=1,2,…，n）為n維列向量。例5：計算行列式把第1列元素看成兩項的和，然后把行列式拆開得11D=+對于第一個行列式，第一行加到第二行得==……==1對于第2個行列式按第1列展開，得到一個與D同型的行列式，從而應(yīng)用遞推法得D=1-aD=1-a(1-aD)=1-a+aaD=1-a+aa(1-aD)=……=1-a+aa-aaa+…+（-1）aa…aD=1-a+aa-aaa+…+（-1）a

7、a…a(1-a)=1-a+aa-aaa+…+（-1）aa…a例6：計算行列式的值。解：把第一列的元素看成兩項的和，然后把行列式拆開得11+=+（這里調(diào)一下）=++=2+3=5(5)利用公式det(AB)=det(A)det(B)計算行列式的值：det(AB)=det(A)det(B)計算行列式的值，其中A,B均為n階方陣，此方法關(guān)鍵的一步是能把一個已知矩陣拆成兩個（行列式值易算出的）矩陣之積。例7：已知矩陣D=，求。解：