資源描述：
《歐氏幾何與第五公理》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、歐氏幾何與第五公理一、歐氏幾何的建立歐氏幾何是歐幾里德幾何學的簡稱，其創(chuàng)始人是公元前三世紀的古希臘偉大數(shù)學家歐幾里德。在他以前，古希臘人已經積累了大量的幾何知識，并開始用邏輯推理的方法去證明一些幾何命題的結論。歐幾里德這位偉大的幾何建筑師在前人準備的“木石磚瓦”材料的基礎上，天才般地按照邏輯系統(tǒng)把幾何命題整理起來，建成了一座巍峨的幾何大廈，完成了數(shù)學史上的光輝著作《幾何原本》。這本書的問世，標志著歐氏幾何學的建立。這部科學著作是發(fā)行最廣而且使用時間最長的書。后又被譯成多種文字，共有二千多種版本。它的問世是整個數(shù)學發(fā)展史上意義極其深遠的大事，也是
2、整個人類文明史上的里程碑。兩千多年來，這部著作在幾何教學中一直占據著統(tǒng)治地位，至今其地位也沒有被動搖，包括我國在內的許多國家仍以它為基礎作為幾何教材。二、一座不朽的豐碑歐幾里德將早期許多沒有聯(lián)系和未予嚴謹證明的定理加以整理，寫下《幾何原本》一書，使幾何學變成為一座建立在邏輯推理基礎上的不朽豐碑。這部劃時代的著作共分13卷，465個命題。其中有八卷講述幾何學，包含了現(xiàn)在中學所學的平面幾何和立體幾何的內容。但《幾何原本》的意義卻絕不限于其內容的重要，或者其對定理出色的證明。真正重要的是歐幾里德在書中創(chuàng)造的一種被稱為公理化的方法。在證明幾何命題時，每
3、一個命題總是從再前一個命題推導出來的，而前一個命題又是從再前一個命題推導出來的。我們不能這樣無限地推導下去，應有一些命題作為起點。這些作為論證起點，具有自明性并被公認下來的命題稱為公理，如同學們所學的“兩點確定一條直線”等即是。同樣對于概念來講也有些不加定義的原始概念，如點、線等。在一個數(shù)學理論系統(tǒng)中，我們盡可能少地先取原始概念和不加證明的若干公理，以此為出發(fā)點，利用純邏輯推理的方法，把該系統(tǒng)建立成一個演繹系統(tǒng)，這樣的方法就是公理化方法。歐幾里德采用的正是這種方法。他先擺出公理、公設、定義，然后有條不紊地由簡單到復雜地證明一系列命題。他以公理、
4、公設、定義為要素，作為已知，先證明了第一個命題。然后又以此為基礎，來證明第二個命題，如此下去，證明了大量的命題。其論證之精彩，邏輯之周密，結構之嚴謹，令人嘆為觀止。零散的數(shù)學理論被他成功地編織為一個從基本假定到最復雜結論的系統(tǒng)。因而在數(shù)學發(fā)展史上，歐幾里德被認為是成功而系統(tǒng)地應用公理化方法的第一人，他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數(shù)學體系的典范。正是從這層意義上，歐幾里德的《幾何原本》對數(shù)學的發(fā)展起到了巨大而深遠的影響，在數(shù)學發(fā)展史上樹立了一座不朽的豐碑。三、歐氏幾何的完善公理化方法已經幾乎滲透于數(shù)學的每一個領域，對數(shù)學的發(fā)展產生了不
5、可估量的影響，公理化結構已成為現(xiàn)代數(shù)學的主要特征。而作為完成公理化結構的最早典范的《幾何原本》，用現(xiàn)代的標準來衡量，在邏輯的嚴謹性上還存在著不少缺點。如一個公理系統(tǒng)都有若干原始概念(或稱不定義概念)，如點、線、面就屬于這一類。歐幾里德對這些都做了定義，但定義本身含混不清。另外，其公理系統(tǒng)也不完備，許多證明不得不借助于直觀來完成。此外，個別公理不是獨立的，即可以由其他公理推出。這些缺陷直到1899年德國數(shù)學家希爾伯特的在其《幾何基礎》出版時得到了完善。在這部名著中，希爾伯特成功地建立了歐幾里德幾何的完整、嚴謹?shù)墓眢w系，即所謂的希爾伯特公理體系。
6、這一體系的建立使歐氏幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹?shù)膸缀误w系。也標志著歐氏幾何完善工作的終結。歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。2.線段(有限直線)可以任意地延長。3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。5.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小於兩個直角，則兩直線作延長時在此側會相交。上述前三條公理是尺規(guī)作圖公理，用來定直線與圓。在紙面上用尺規(guī)劃出的任何直線與圓，按定義而言，都不是「真正」數(shù)學上的直線與圓。然而，歐氏似乎是說：我們可以用尺規(guī)作
7、出近似的圖形，以幫助我們想像真正的圖形，再配合正確的推理就夠了。長期以來，數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那么顯而易見。有些數(shù)學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以后再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。因此，一些數(shù)學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關于“平行線理論”的討論。由于證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走
8、的對不對？第五公設到底能不能證明？到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公
