歐氏幾何的公理體系和我國平面

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1、歐氏幾何的公理體系和我國平面幾何課本的歷史演變張英伯(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院100875)1、幾何原本與幾何基礎(chǔ)我們都知道，兩千多年前，古希臘的數(shù)學(xué)家歐幾里得寫了一本一著名的書一一《原本》。在古往今來的浩瀚書海中，《原本》用各國文字出版的印數(shù)僅次于《圣經(jīng)》而居世界第一位。我國最早的中譯本是在明朝末年由外國傳教士利瑪竇與我國科學(xué)家徐光啟翻譯的，1607年出版，書名定為《幾何原本》。此后，我國出版的各種譯本都沿襲這一名稱?！稁缀卧尽妨谐隽宋鍡l公理與五條公設(shè)，并在各章的開頭給出了一系列定義，然后根據(jù)這些定義，

2、公理和公設(shè)推導(dǎo)出了465個數(shù)學(xué)命題，（按照日前通行的希思英譯本《Euclid'sElexnents》13卷計(jì)算，該書的中譯本于1990年出版），其系統(tǒng)之嚴(yán)謹(jǐn)，推理之嚴(yán)密，令人嘆為觀止?！稁缀卧尽返膬?nèi)容涉及初等數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，包括代數(shù)，數(shù)論，平面幾何，命_體幾何，甚至現(xiàn)代極限概念的雛形，但各部分的表述大都是從圖形出發(fā)的。第一卷講直線形，包括點(diǎn)、線、面、角的概念，三角形，兩條直線的平行與垂直，勾股定理等；第二卷講代數(shù)恒等式，如兩項(xiàng)和的平方，黃金分割；第三卷討論圓、弦、切線等與圓有關(guān)的圖形；第四卷的內(nèi)容是圓的內(nèi)

3、接和外切三角形，正方形，內(nèi)接正多邊形（5、10、15邊）的作圖；第五卷是比例論，取材于歐多克索斯（Eudoxus）的公理法，使之適用于一切可公度和不可公度的量；第六卷將比例論應(yīng)用于平面圖形，研究相似形；第八、九卷是初等數(shù)論，其中給出了輾轉(zhuǎn)相除法，證明了素?cái)?shù)有無窮多；第十卷篇幅最大，占全書的四分之一，主要討論無理量，可以看作是現(xiàn)代極限概念的雛形；第十一卷討論空間的直線與平面；第十二卷證明了圓面積的比等于直徑的平方比，球體積的比等于直徑的立方比，但沒有給出比例常數(shù)；第十三卷詳細(xì)研究了五種正多面體。歐幾里得《幾何

4、原本》中的內(nèi)容己在現(xiàn)代中等教育中分成了若干部分，分別歸入平面幾何，代數(shù)，三角，立體幾何。初中平面幾何的內(nèi)容主要取材于《幾何原本》的前六章，大致可以概括為點(diǎn)、線、面角的概念，三角形，兩條直線的位置關(guān)系（包括平行，垂直），四邊形，圓，相似形，求圖形的面積這樣幾個部分。在全書的開頭列出的五個公理和五個公設(shè)如下。公理適用于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域；（1）等于同量的量彼此相等。(2)等量加等量，其和相等。（3）等量減等量，其差相等。(4)彼此能重合的物體是全等的。(5)整體大于部分。公設(shè)適用于幾何部分；（1）由任意一點(diǎn)到任意（

5、另）一點(diǎn)可作直線。(2)一條有限直線可以繼續(xù)延比（3）以任意點(diǎn)為（圓）心及任意距離（為半徑）可以畫圓。(4)凡直角都相等。(5)同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個內(nèi)角的和小于一直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。當(dāng)然，按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化體系去衡量，《幾何原本》的公理體系不是很完備，比如對點(diǎn)、線、面等原始概念的定義不甚清晰；關(guān)聯(lián)，順序，運(yùn)動，連續(xù)性等方面的公理還有待補(bǔ)充；個別公理欠獨(dú)立性一些命題的證明基于公理4的幾何直觀，即；彼此能重合的物體是全等的。也就是說，一個平面圖形可以不改變

6、形狀和大小從一個位置移動到另一個位置。這實(shí)際上是不加定義默認(rèn)了平面的剛體運(yùn)動。后者在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的嚴(yán)格定義是平面到自身的保持距離不變的一個映射。1899年數(shù)學(xué)泰斗希爾伯特(Hfilbert)出版了他的著作《幾何基礎(chǔ)》，并于30多年間不斷地修訂和精煉，于1930年出了第七版?！稁缀位A(chǔ)》一書給出了點(diǎn)、線、面、關(guān)聯(lián)、順序、合同這些原始概念的準(zhǔn)確定義，為歐幾里得幾何補(bǔ)充了完整的公理體系。我國數(shù)學(xué)界的前輩，將西方數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究引入中國的先驅(qū)，幾何學(xué)與數(shù)理邏輯學(xué)家，原北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主任傅種孫教授于1924年與韓桂叢

7、合作，將《幾何基礎(chǔ)》第一版的英譯本譯成中文，取名《幾何原理》。傅種孫教授不但是一位嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)家，也是我國歷史上功不可沒的數(shù)學(xué)教育家，他一生致力于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在我國的啟蒙與普及。在他的主持和影響下，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系多年來堅(jiān)持高標(biāo)準(zhǔn)，嚴(yán)要求，為中學(xué)輸送了大批優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師。傅先生曾親自編寫了平面幾何教科書，于二，三十年代在北京師大附中講授，使聽他講課的學(xué)生受益匪淺。其中錢學(xué)森，段學(xué)復(fù)，閔嗣鶴，熊全淹等人在新中國成立后成為數(shù)學(xué)界，物理學(xué)界的棟梁。1958年江澤涵教授的中譯本《幾何基礎(chǔ)》是根據(jù)第七版的俄譯本和1956

8、年第八版的一些補(bǔ)充譯成的。文革后，征得了江澤涵教授的同意，朱鼎勛教授根據(jù)德文第十二版，對1956年的中譯本進(jìn)行增補(bǔ)，修訂，于1987年出了《幾何基礎(chǔ)》中譯本第二版。下述引文均出自該版?！稁缀位A(chǔ)》將公理體系分為下述五類。第一類叫做關(guān)聯(lián)公理，由兩點(diǎn)確定一條直線；一條直線上至少有兩個點(diǎn)，至少有三個點(diǎn)不在一條直線上，等8個公理組成。第二類叫做順序公理，由下述四個公理組成。（1）若一點(diǎn)B在一點(diǎn)A和一點(diǎn)C之間，則A,B和C