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1、WORD完美整理版第一講歐氏幾何公理體系目錄一、幾何概述P1二、公理化方法的內(nèi)涵與意義P1三、歐幾里得《幾何原本》簡介P2四、完備化的希爾伯特公理體系P5五、中學幾何公理系統(tǒng)P8一、幾何概述二、公理化方法的內(nèi)涵與意義1．什么是公理化方法公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，依據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導一系列的定理，從而構(gòu)成一個演繹系統(tǒng)的方法?！币话阌?部分組成：(1)原始概念的列舉(2)定義的敘述(3)公理的列舉(4)定理的敘述和證明4個部分不是獨立地敘述和展開，而是相互交叉、相互滲透、相互依賴地按照邏輯原則演繹和展開的。原始概
2、念和公理決定幾何體系的基礎，不同的基礎決定不同的幾何體系。如歐氏幾何、羅氏幾何等。原始概念包含原始元素(圖形)和原始關系兩類．原始元素如點、直線和平面等，原始關系如結(jié)合關系、順序關系、合同關系等。原始概念沒有定義，但它們的屬性隱含在公理中，如平面的屬性，中學給出三個公理：◆一直線上的兩點在一個平面內(nèi)，則直線上所有點都在平面內(nèi)；◆兩平面有一公共點，則它們有且僅有一條過公共點的直線；◆過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。公理是“范文范例參考指導WORD完美整理版在一個系統(tǒng)中已為反復實踐所證實而被認為不需要證明的真理，具有自明性
3、.”。一般來說，公理被人們普遍接受，無須證明，但后來發(fā)現(xiàn)，有些公理并非十分顯然，如第五公設。因此，人們選用某些命題作為一種演繹推理的出發(fā)點，并非一定要自明，只要大家能接受就行，實質(zhì)在于符合經(jīng)驗。2．公理系統(tǒng)的三個基本問題(1)相容性(無矛盾性)若由公理系統(tǒng)不能推出兩個矛盾的命題，則稱該公理系統(tǒng)是相容的。靠演繹推理的方法證明系統(tǒng)(∑)的無矛盾性是不可能的，因為無論推出多少個命題沒有出現(xiàn)矛盾，也不可能保證繼續(xù)推下去保證永遠不會發(fā)生矛盾。要證明無矛盾性，數(shù)學上用解釋(即作模型)的方法。先找一個模型M，使M的事物與∑的命題形成一一對應關系
4、，我們先確定M的事物是存在的，或假設它是存在的，后一情況，我們只證明了公理系統(tǒng)在M存在的條件下是無矛盾的，即∑相容是有條件的，如歐氏幾何的相容性歸結(jié)為自然數(shù)的皮亞諾公理的相容性，而它又歸結(jié)為集合的相容性，而集合的無矛盾性至今也沒有解決。(2)獨立性(公理數(shù)量最少問題)確定∑中每個公理是必要的，不是多余的，不能由其它公理導出，保證公理是最少個數(shù)問題。解決起來很困難，如第五公設。在實際教學中，從學生的現(xiàn)有知識水平出發(fā)，為了提高教學效率，故意多列一些公理，便于論證。(3)完備性(公理個數(shù)最大化問題)公理個數(shù)盡可能多，保證每個定理均能推出
5、?！稁缀卧尽匪械墓硎遣粔虻?，證明中借助了幾何直觀和其它默契，如無順序性等。公理的完備性相當復雜，到目前為止，希爾伯特在《幾何基礎》中才將歐氏幾何的公理完備性解決。一般地，多數(shù)數(shù)學理論是以不完備的公理系統(tǒng)為基礎的，如群論(存在不同構(gòu)的群)。對于一個∑，要求必須是相容的，最好是獨立的，，是否完備則視需要而定。3．公理化方法的意義和作用關于公理化思想方法的作用，徐利治歸結(jié)為以下4點：◆這種方法具有分析、總結(jié)數(shù)學知識的作用。凡取得了公理結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學，由于定理和命題均已按邏輯演繹關系串聯(lián)起來，故使用起來也較方便。◆公理化方法把一門數(shù)
6、學的基礎分析得清清楚楚，這就有利于比較各門數(shù)學的實質(zhì)性不同，并能促使和推動新理論的創(chuàng)立?！魯?shù)學公理化方法在科學方法上有示范作用。這種方法對現(xiàn)代理論力學及各門自然科學理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用。例如，19世紀40年代波蘭的Banach曾完成了理論力學的公理化；而物理學家亦把相對論表述為公理化形式……◆公理化方法所顯示的形式的簡潔性、條理性和結(jié)構(gòu)的和諧性確實符合美學的要求，因而為數(shù)學活動中貫徹審美原則提供了范例。三、歐幾里得《幾何原本》簡介歐幾里得是柏拉圖范文范例參考指導WORD完美整理版的學生，以其《幾何原本》聞名于世，但
7、身世不詳，沒有哪位偉人能象他那樣聲譽持久。其貢獻在于對前人的材料加以整理，并在書中作了系統(tǒng)闡述，于公元前300年完成《幾何原本》。本人是一個溫和敦厚的教育家，受托勒密一世之邀，長期在亞歷山大城進行教學和研究工作。他反對學數(shù)學投機取巧，也反對狹隘的實用觀點。一次，托勒密問他有無學習幾何的捷徑，回答說：“在幾何里，沒有專為國王鋪設的大道?！背蔀榍Ч艂髡b的學習箴言。又一個學生問學習幾何后能得到什么，歐幾里得回答說：“給他三個錢幣，因為他想在學習中獲得實利?！薄稁缀卧尽废纫允殖玖鱾?，在有印刷術后，先后有1000多種版本，在西方是僅次于
8、《圣經(jīng)》的出版量最多的書，其影響之深遠，以致使歐幾里得和幾何學成了同義詞。1．《幾何原本》簡介《幾何原本》由希臘數(shù)學家歐幾里得﹝Euclid，公元前300年前后﹞所著，是用公理方法建立演繹數(shù)學體系的最早典范。是至今流傳最廣、影響最大的一部世界數(shù)學名
