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1、SARS傳播的數(shù)學(xué)模型摘要本文分析了題目所提供的早期SARS傳播模型的合理性與實用性，認為該模型可以預(yù)測疫情發(fā)展的大致趨勢，但是存在一定的不足.第一，混淆了累計患病人數(shù)與累計確診人數(shù)的概念；第二，借助其他地區(qū)數(shù)據(jù)進行預(yù)測，后期預(yù)測結(jié)果不夠準(zhǔn)確；第三，模型的參數(shù)L、K的設(shè)定缺乏依據(jù)，具有一定的主觀性.針對早期模型的不足，在系統(tǒng)分析了SARS的傳播機理后，把SARS的傳播過程劃分為：征兆期，爆發(fā)期，高峰期和衰退期4個階段.將每個階段影響SARS傳播的因素參數(shù)化，在傳染病SIR模型的基礎(chǔ)上，改進得到SARS傳播模型.
2、采用離散化的方法對本模型求數(shù)值解得到：北京SARS疫情的預(yù)測持續(xù)時間為106天，預(yù)測SARS患者累計2514人，與實際情況比較吻合.應(yīng)用SARS傳播模型，對隔離時間及隔離措施強度的效果進行分析，得出結(jié)論：“早發(fā)現(xiàn)，早隔離”能有效減少累計患病人數(shù)；“嚴格隔離”能有效縮短疫情持續(xù)時間.在建立模型的過程中發(fā)現(xiàn)，需要認清SARS傳播機理，獲得真實有效的數(shù)據(jù).而題目所提供的累計確診人數(shù)并不等于同期累計患病人數(shù)，這給模型的建立帶來不小的困難.本文分析了海外來京旅游人數(shù)受SARS的影響，建立時間序列半?yún)?shù)回歸模型進行了預(yù)測，
3、估算出SARS會對北京入境旅游業(yè)造成23.22億元人民幣損失，并預(yù)計北京海外旅游人數(shù)在10月以前能恢復(fù)正常.最后給當(dāng)?shù)貓罂瘜懥艘黄涛?，介紹了建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性.161．問題的重述SARS（嚴重急性呼吸道綜合癥，俗稱：非典型肺炎）的爆發(fā)和蔓延使我們認識到，定量地研究傳染病的傳播規(guī)律，為預(yù)測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件，具有很高的重要性.現(xiàn)需要做以下工作：（1）對題目提供的一個早期模型，評價其合理性和實用性.（2）建立自己的模型，說明優(yōu)于早期模型的原因；說明怎樣才能建立一個真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可
4、靠、足夠信息的模型，并指出這樣做的困難；評價衛(wèi)生部門采取的措施，如：提前和延后5天采取嚴格的隔離措施，估計對疫情傳播的影響.（3）根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，預(yù)測SARS對社會經(jīng)濟的影響.（4）給當(dāng)?shù)貓罂瘜懸黄ㄋ锥涛?，說明建立傳染病數(shù)學(xué)模型的重要性.2．早期模型的分析與評價題目要求建立SARS的傳播模型，整個工作的關(guān)鍵是建立真正能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控制提供可靠、足夠的信息的模型.如何結(jié)合可靠、足夠這兩個要求評價一個模型的合理性和實用性，首先需要明確：合理性定義要求模型的建立有根據(jù)，預(yù)測結(jié)果切合實際
5、.實用性定義要求模型能全面模擬真實情況，以量化指標(biāo)指導(dǎo)實際.所以合理的模型能為預(yù)防和控制提供可靠的信息；實用的模型能為預(yù)防和控制提供足夠的信息.2.1早期模型簡述早期模型是一個SARS疫情分析及疫情走勢預(yù)測的模型，該模型假定初始時刻的病例數(shù)為，平均每病人每天可傳染K個人（K一般為小數(shù)），K代表某種社會環(huán)境下一個病人傳染他人的平均概率，與全社會的警覺程度、政府和公眾采取的各種措施有關(guān).整個模型的K值從開始到高峰期間保持不變，高峰期后10天的范圍內(nèi)K值逐步被調(diào)整到比較小的值，然后又保持不變.平均每個病人可以直接感染
6、他人的時間為L天.整個模型的L一直被定為20.則在L天之內(nèi)，病例數(shù)目的增長隨時間t(單位天)的關(guān)系是：考慮傳染期限L的作用后，變化將顯著偏離指數(shù)律，增長速度會放慢.采用半模擬循環(huán)計算的辦法，把到達L天的病例從可以引發(fā)直接傳染的基數(shù)中去掉.2.2早期模型合理性評價根據(jù)早期模型對北京疫情的分析與預(yù)測，其先將北京的病例起點定在3月1日，經(jīng)過大約59天在4月29日左右達到高峰，然后通過擬合起點和4月20日以后的數(shù)據(jù)定出高峰期以前的K=0.13913.高峰期后的K值按香港情況變化，即10天范圍內(nèi)K值逐步被調(diào)整到0.027
7、3.L恒為20.由此畫出北京3月1日至5月7日疫情發(fā)展趨勢擬合圖像以及5月7日以后的疫情發(fā)展趨勢預(yù)測圖像，如圖1.16圖1早期模型計算值與實際值對比圖從圖1可以看出，從4月20日至5月7日模型計算值與同期實際值的擬合程度比較好，但5月7日后模型計算值（即預(yù)測值）隨著日期的增長逐漸偏離實際值.為了進一步驗證上述分析，對模型計算值曲線和實際值進行殘差分析，記表示第i天實際累計病例，表示第i天計算累計病例.計算其中，用作為的估計：做出標(biāo)準(zhǔn)化殘差的分布圖，如圖2：16圖2早期模型的標(biāo)準(zhǔn)化殘差分布圖可以很明顯地看出，在后
8、期，殘差圖上出現(xiàn)明顯的單減規(guī)律性，預(yù)測值高于實際值，說明預(yù)測值確實逐漸偏離實際值.通過以上分析得合理性評價：從預(yù)測準(zhǔn)確度上有失合理性，雖然早期模型在擬合前期疫情時擬合程度較好，但對后期情況的預(yù)測出現(xiàn)較大偏差.盡管預(yù)測準(zhǔn)確程度不高，但是該模型確實預(yù)測出了整個疫情的發(fā)展趨勢.從這一點上看，該模型還是切合實際的.該模型選用公布數(shù)據(jù)直接擬合，從而預(yù)測后期疫情發(fā)展趨勢，這有悖于模型本身的含義.因
