求向量組的秩與極大無關(guān)組

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1、求向量組的秩與極大無關(guān)組　　對于具體給出的向量組，求秩與極大無關(guān)組的常用方法如下.　　方法1將向量組排成矩陣：(列向量組時)或(行向量組時)(*)并求的秩，則即是該向量組的秩；再在原矩陣中找非零的階子式，則包含的個列(或行)向量即是的列(或行)向量組的一個極大無關(guān)組.　　方法2將列(或行)向量組排成矩陣如(*)式，并用初等行(或列)變換化為行(或列)階梯形矩陣(或)，則(或)中非零行(或列)的個數(shù)即等于向量組的秩，且是該向量組的一個極大無關(guān)組，其中是(或)中各非零行(或列)的第1個非零元素所在的列(或行).　

2、　方法3當(dāng)向量組中向量個數(shù)較少時，也可采用逐個選錄法：即在向量組中任取一個非零向量作為，再取一個與的對應(yīng)分量不成比例的向量作為，又取一個不能由和線性表出的向量作為，繼續(xù)進(jìn)行下去便可求得向量組的極大無關(guān)組.　　對于抽象的向量組，求秩與極大無關(guān)組常利用一些有關(guān)的結(jié)論，如“若向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表示，則(Ⅰ)的秩不超過(Ⅱ)的秩”，“等價向量組有相同的秩”，“秩為的向量組中任意個線性無關(guān)的向量都是該向量組的極大無關(guān)組”等.　　例1求向量組，，，，的秩與一個極大無關(guān)組.　　解法1，所以向量組的秩為3；又中

3、位于1，2，4行及1，2，4列的3階子式故是向量組的一個極大無關(guān)組(可知；均可作為極大無關(guān)組).　　法2由于的第1，2，4個行向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)，故是向量組的一個極大無關(guān)組.　　例2求向量組，，，的秩和一個極大無關(guān)組.　　解　　　　(1)當(dāng)且時，，故向量組的秩為3，且是一個極大無關(guān)組；　　(2)當(dāng)時，，故向量組的秩為3，且是一個極大無關(guān)組；　　(3)當(dāng)時，若，則，此時向量組的秩為2，且是一個極大無關(guān)組.若，則　，此時向量組的秩為3，且是一個極大無關(guān)組.　　例3設(shè)向量組的秩為.又設(shè)，，求向量組的秩.　　解

4、法1由于，且所以故向量組與等價，從而的秩為.　　法2將看做列向量，則有其中可求得，即可逆，從而可由線性表示，故這兩個向量組等價，即它們有相同的秩.　　例4設(shè)向量組(Ⅰ)：和向量組(Ⅱ)：的秩分別為和，而向量組(Ⅲ)：的秩為.證明：.　　證若和中至少有一個為零，顯然有，結(jié)論成立.若和都不為零，不妨設(shè)向量組(Ⅰ)的極大無關(guān)組為，向量組(Ⅱ)的極大無關(guān)組為，由于向量組可以由它的極大無關(guān)組線性表示，所以向量組(Ⅲ)可以由，線性表示，故的秩