§12.4向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩

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1、§12.4向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩極大無關(guān)組的定義極大無關(guān)組的判定向量組的秩上一頁下一頁27*§4向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩在第十一章中我們意已講過了矩陣的概念。它于本節(jié)說講的向量組的極大無關(guān)組及向量組的秩有什么聯(lián)系呢？我們先引入其概念。定義1設(shè)有向量組T，如果T中任意r+1個向量（若有的話）都線性相關(guān)。在T中有r個向量(i)(ii)那么稱是向量組T的一個極大無關(guān)組。例1設(shè)向量組因線性無關(guān)，而線性相關(guān)，既有所以是一個極大無關(guān)組。同樣、也是極大無關(guān)組?！跤衫?可看出，一個向量組的極大無關(guān)組有多個，但它們所包含向量的個數(shù)卻是相同的，即

2、有如下命題成立。命題12。9在一個向量中，它的所有極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)都相同。證設(shè)與都是向量組T的極大無關(guān)組。若s≠t，不妨設(shè)s＜t，則因為極大無關(guān)組，所以每一個都是的線性組合，由§3中的結(jié)論三知上一頁下一頁28必線性相關(guān)，這和是極大無關(guān)組相關(guān)矛盾。所以s=t?！醵x2向量組T的極大無關(guān)中所含向量的個數(shù)稱為向量組T的秩。且規(guī)定只含零向量的向量組的秩為0.現(xiàn)在的問題是:給定一個向量組T我們?nèi)绾吻蟪鯰的一個極大無關(guān)組以及T的秩呢?在第十一章的§6節(jié)中,我們已介紹了求一個矩陣的方法.為此,我們可以設(shè)想把一個向量組T中的向量作為矩陣A的列向量,

3、爾后利用初等行變換把矩陣A化為階梯形矩陣,那么階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r就是矩陣A的秩,也即為向量組T的秩;而所有非零的行所對應(yīng)的r個向量所組成的向量組,就是矩陣列向量組的一個極大無關(guān)組.由此,還要再要證明如下二個命題.命題12.10矩陣A的列向量組通過初等行變換不改變相關(guān)性.證設(shè)向量T:是矩陣A的列向量組。由定義知，向量組若線性相關(guān)，即存在不全上一頁下一頁29為零的一組數(shù)，使亦即齊次線性方程組有非零解.上面的齊次線性方程組可寫成現(xiàn)設(shè)由命題12.1知同解.所以向量組的線性相關(guān)性相同.□由此我們知道,矩陣A的秩就是列向量組T中極大線性無關(guān)組所

4、含向量的個數(shù).又會命題11.11顯然下面的命題成立.命題12.11矩陣A的秩=矩陣A向量組的秩=矩陣A行向量組的秩.例2設(shè)向量組上一頁下一頁30求向量組的秩及其一個極大無關(guān)組,并求出另外的向量由該極大無關(guān)組線性表出的表達式.解因為由命題12.11知,向量組的秩等于3,且就是一個極大無關(guān)組.下面球關(guān)于極大無關(guān)組的線性表達式,先令即所以上一頁下一頁31同理可求得□一個向量由它所在的向量組中的極大無關(guān)組線性表示,其線性表達式是否唯一呢?我們有下面的命題.命題12.12一個向量由它所在向量組中極大無關(guān)組線性表示,其表達式唯一.證設(shè)是向量組T中的一個

5、極大無關(guān)組,是向量組T中任意一個向量。若且又有那么因線性無關(guān)，則必有即所以，由線性表示的表達式唯一.□上一頁回首頁32