車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)建模全國賽優(yōu)秀論文

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1、車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模全國賽優(yōu)秀論文全國一等獎(jiǎng)(軒轅楊杰整理)車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)電子科技大學(xué)指導(dǎo)老師：杜鴻飛參賽隊(duì)員：呂驥余白敏肖世堯2002年9月23日車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)摘要本文在滿足給定設(shè)計(jì)規(guī)范的條件下，以線光源功率最小為優(yōu)化目標(biāo)，運(yùn)用微元法對(duì)車燈線光源長度的設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了討論。首先將線光源分為若干段（微元），視每一段為一個(gè)點(diǎn)光源。引進(jìn)兩個(gè)物理量：照度和發(fā)光效率，分別用來度量光強(qiáng)和建立光源功率與輻射光能的聯(lián)系。搜索每個(gè)點(diǎn)光源發(fā)出的光線有多少條經(jīng)反射后能照到給定的B、C兩點(diǎn)，進(jìn)而建立起光源功率與B、C點(diǎn)照度之間的聯(lián)系。再以設(shè)計(jì)規(guī)范中要求的B、C

2、點(diǎn)的照度與額定值之間的關(guān)系為約束條件，以線光源功率最小為目標(biāo)建立優(yōu)化模型。代入距光源25米處照度的額定值和線光源的功率線密度等參數(shù)，得出相應(yīng)線光源的最優(yōu)長度。以高壓毛細(xì)汞燈（發(fā)光效率50流明/瓦、功率線密度30瓦/毫米）為例，算出它的優(yōu)化長度為4.2毫米，并繪出測(cè)試屏上反射光的亮區(qū)圖。從實(shí)際、安全、經(jīng)濟(jì)等多角度出發(fā)，討論了該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性。最后考慮到實(shí)際的光源輻射有衰減、燈具反射面的污染等因素，建議引進(jìn)照度補(bǔ)償系數(shù)，使模型的實(shí)用性更強(qiáng)。車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計(jì)一、問題的提出汽車頭部的車燈形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，其對(duì)稱軸水平地指向正前方，并已知其開口半徑為36毫米

3、，深度為21.6毫米。經(jīng)過車燈的焦點(diǎn)F，在與對(duì)稱軸相垂直的水平方向上，對(duì)稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某一設(shè)計(jì)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)下確定線光源的長度。該設(shè)計(jì)規(guī)范可簡(jiǎn)單描述如下：在焦點(diǎn)F正前方25米處的A點(diǎn)放置一測(cè)試屏，屏與FA垂直，用以測(cè)試車燈的反射光。在屏上過A點(diǎn)引出一條與地面相平行的直線，在該直線A點(diǎn)的同側(cè)取B點(diǎn)和C點(diǎn)，使AC=2AB=2.6米。要求C點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于某一額定值（可取為1個(gè)單位），B點(diǎn)的光強(qiáng)度不小于該額定值的兩倍（只須考慮一次反射）。我們需要解決的是：（1）滿足該設(shè)計(jì)規(guī)范的條件下，計(jì)算線光源長度，使線光源的功率最小。（2）得到的線光源長

4、度，在有標(biāo)尺的坐標(biāo)系中畫出測(cè)試屏上反射光的亮區(qū)。（3）討論該設(shè)計(jì)規(guī)范的合理性。二、問題的分析2.1首先我們來明確幾個(gè)概念線光源——寬度與其長度相比小得多的發(fā)光體。光通量——光源在單位時(shí)間內(nèi)輻射出的光能，用國際規(guī)定的眼（對(duì)光適應(yīng)的眼）的靈敏度來估定。發(fā)光效率——光源每消耗1瓦特功率可輻射出的光通量，又叫光效。照度——單位面積所接受的光通量，單位為勒克斯。2.2分析問題首先解決本問題的一個(gè)難點(diǎn)：由于問題討論的主要對(duì)象是線光源，而線光源處理起來不太容易，因此想到用微元法將線光源劃分為若干小段（微元?l），每一段可視為一個(gè)點(diǎn)光源。這樣就將線光源的問題轉(zhuǎn)化為了點(diǎn)光源

5、的疊加問題。由于該線光源照射到測(cè)試屏上，有兩種途徑：直射和反射。因此我們?cè)诳紤]某點(diǎn)的光強(qiáng)時(shí)，必須同時(shí)考慮兩種情況。現(xiàn)在我們還需解決的幾個(gè)關(guān)鍵問題是如何度量光強(qiáng)，光強(qiáng)的額定值為多少，如何建立起功率與光強(qiáng)的關(guān)系。通過查資料，我們引入了描述光強(qiáng)的物理量——照度。同時(shí)查到距車燈25米處的照度額定值為1勒克斯，即光強(qiáng)額定值為1勒克斯（見參考文獻(xiàn)[1]）。另外，還引入發(fā)光效率這個(gè)量來建立起光源功率與光強(qiáng)的關(guān)系（見參考文獻(xiàn)[2]）。在上述討論的基礎(chǔ)上，作進(jìn)一步分析，我們認(rèn)為可以建立一個(gè)以給定設(shè)計(jì)規(guī)范為約束條件，以線光源的功率最小為目標(biāo)的規(guī)劃模型。可以通過步長搜索，來求得

6、線光源長度的最優(yōu)解。1三、模型的假設(shè)1、光在反射時(shí)及整個(gè)傳播過程中，能量均無損耗。2、只計(jì)此線光源的長度，其體積忽略不計(jì)。3、此線光源均勻分布，各點(diǎn)同性。且任意一點(diǎn)向整個(gè)空間各個(gè)方向均勻輻射能量。4、光強(qiáng)額定值為1勒克斯。5、不考慮光的干涉、衍射等現(xiàn)象。6、光強(qiáng)在某點(diǎn)疊加時(shí)，可直接取其代數(shù)和。7、只考慮一次反射。四、符號(hào)說明lm——流明W——功率m——米lx——勒克斯（1lx=1lm/m2）五、模型的建立與求解5.1準(zhǔn)備工作首先建立如圖坐標(biāo)系：圖一車燈測(cè)試裝置三維坐標(biāo)圖2其次，明確下面的定理：定理1從焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)反射后均為平行于對(duì)稱軸的光。定理2點(diǎn)光源發(fā)

7、出的光以球面波的形式向空間傳播。定理3光源從一點(diǎn)A經(jīng)反射到達(dá)另一點(diǎn)B所走過的光程等于點(diǎn)A的鏡像A'到點(diǎn)B的直線距離。此定理可由圖二直觀表示：即AC?BC?A'B圖二再根據(jù)幾何推導(dǎo)，可得出一個(gè)重要的結(jié)論：結(jié)論在旋轉(zhuǎn)拋物面上，每個(gè)反射點(diǎn)的法線都與對(duì)稱軸相交。下面我們對(duì)此結(jié)論進(jìn)行證明：從圖一，我們可以看出此旋轉(zhuǎn)拋物面是由曲線???x2?2cy???z?0?c?0繞y軸旋轉(zhuǎn)得到的。于是推出此旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為z2?x2?2cy設(shè)?x0,y0,z0?為此拋物面上任意一點(diǎn)，求得過此點(diǎn)的切面方程為2x0?x?x0??2c?y?0y??2?zz??0z?0

8、進(jìn)而得法線方程為x?x0y0?z0x?y?0?c?zz0聯(lián)立對(duì)稱軸