蒙特卡羅(monte carlo)方法

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1、http://apps.hi.baidu.com/share/detail/5568877蒙特卡羅(MonteCarlo)方法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基于“隨機數(shù)”的計算方法。這一方法源于美國在第一次世界大戰(zhàn)進研制原子彈的“曼哈頓計劃”。該計劃的主持人之一、數(shù)學家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩?！　onteCarlo方法的基本思想很早以前就被人們所發(fā)現(xiàn)和利用。早在17世紀，人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來決定事件的“概率”。19世紀人們用投針試驗的方法來決定圓周率π。本世紀40年代電子計算機的出

2、現(xiàn)，特別是近年來高速電子計算機的出現(xiàn)，使得用數(shù)學方法在計算機上大量、快速地模擬這樣的試驗成為可能?！　】紤]平面上的一個邊長為1的正方形及其內(nèi)部的一個形狀不規(guī)則的“圖形”，如何求出這個“圖形”的面積呢？MonteCarlo方法是這樣一種“隨機化”的方法：向該正方形“隨機地”投擲N個點落于“圖形”內(nèi)，則該“圖形”的面積近似為M/N。　　可用民意測驗來作一個不嚴格的比喻。民意測驗的人不是征詢每一個登記選民的意見，而是通過對選民進行小規(guī)模的抽樣調(diào)查來確定可能的優(yōu)勝者。其基本思想是一樣的?！　】萍加嬎阒械膯栴}比這要復(fù)雜得多。比如金融衍生產(chǎn)品（期權(quán)、期貨、掉期等）的定價及交易風險估

3、算，問題的維數(shù)（即變量的個數(shù)）可能高達數(shù)百甚至數(shù)千。對這類問題，難度隨維數(shù)的增加呈指數(shù)增長，這就是所謂的“維數(shù)的災(zāi)難”(CourseDimensionality)，傳統(tǒng)的數(shù)值方法難以對付（即使使用速度最快的計算機）。MonteCarlo方法能很好地用來對付維數(shù)的災(zāi)難，因為該方法的計算復(fù)雜性不再依賴于維數(shù)。以前那些本來是無法計算的問題現(xiàn)在也能夠計算量。為提高方法的效率，科學家們提出了許多所謂的“方差縮減”技巧?！　×硪活愋问脚cMonteCarlo方法相似，但理論基礎(chǔ)不同的方法—“擬蒙特卡羅方法”(Quasi-MonteCarlo方法)—近年來也獲得迅速發(fā)展。我國數(shù)學家華羅

4、庚、王元提出的“華—王”方法即是其中的一例。這種方法的基本思想是“用確定性的超均勻分布序列(數(shù)學上稱為LowDiscrepancySequences)代替MonteCarlo方法中的隨機數(shù)序列。對某些問題該方法的實際速度一般可比MonteCarlo方法提出高數(shù)百倍，并可計算精確度。蒙特卡羅（MonteCarlo）方法，又稱隨機抽樣或統(tǒng)計試驗方法，屬于計算數(shù)學的一個分支，它是在本世紀四十年代中期為了適應(yīng)當時原子能事業(yè)的發(fā)展而發(fā)展起來的。傳統(tǒng)的經(jīng)驗方法由于不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結(jié)果，而蒙特卡羅方法由于能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以

5、得到很圓滿的結(jié)果。這也是我們采用該方法的原因。蒙特卡羅方法的基本原理及思想如下：當所要求解的問題是某種事件出現(xiàn)的概率，或者是某個隨機變量的期望值時，它們可以通過某種“試驗”的方法，得到這種事件出現(xiàn)的頻率，或者這個隨機變數(shù)的平均值，并用它們作為問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數(shù)量和幾何特征，利用數(shù)學方法來加以模擬，即進行一種數(shù)字模擬實驗。它是以一個概率模型為基礎(chǔ)，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結(jié)果，作為問題的近似解?？梢园衙商乜_解題歸結(jié)為三個主要步驟：構(gòu)造或描述概率過程；實現(xiàn)從已知概率分布抽樣；建立各種估計量。蒙特卡羅

6、解題三個主要步驟：構(gòu)造或描述概率過程：對于本身就具有隨機性質(zhì)的問題，如粒子輸運問題，主要是正確描述和模擬這個概率過程，對于本來不是隨機性質(zhì)的確定性問題，比如計算定積分，就必須事先構(gòu)造一個人為的概率過程，它的某些參量正好是所要求問題的解。即要將不具有隨機性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為隨機性質(zhì)的問題。實現(xiàn)從已知概率分布抽樣：構(gòu)造了概率模型以后，由于各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分布構(gòu)成的，因此產(chǎn)生已知概率分布的隨機變量（或隨機向量），就成為實現(xiàn)蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段，這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機抽樣的原因。最簡單、最基本、最重要的一個概率分布是(0,1)上的均勻分布（或

7、稱矩形分布）。隨機數(shù)就是具有這種均勻分布的隨機變量。隨機數(shù)序列就是具有這種分布的總體的一個簡單子樣，也就是一個具有這種分布的相互獨立的隨機變數(shù)序列。產(chǎn)生隨機數(shù)的問題，就是從這個分布的抽樣問題。在計算機上，可以用物理方法產(chǎn)生隨機數(shù)，但價格昂貴，不能重復(fù)，使用不便。另一種方法是用數(shù)學遞推公式產(chǎn)生。這樣產(chǎn)生的序列，與真正的隨機數(shù)序列不同，所以稱為偽隨機數(shù)，或偽隨機數(shù)序列。不過，經(jīng)過多種統(tǒng)計檢驗表明，它與真正的隨機數(shù)，或隨機數(shù)序列具有相近的性質(zhì)，因此可把它作為真正的隨機數(shù)來使用。由已知分布隨機抽樣有各種方法，與從(0,1)上均勻分布抽樣不同，這些