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1、貝特朗問題與等可能性蘇教版數(shù)學教材必修三最后一章：概率。本章主要內(nèi)容：古典概型跟幾何概型。兩者的區(qū)別很明顯。古典概型要求要有限等可能，幾何概型為無限等可能。對于古典概型，沒有多大的懸念，但是對于幾何概型卻不同。正是由于這個等可能，就給事情帶來了不尋常的地方。對于同一個問題，可能從不同的方面考慮，最后得到完全不同的結(jié)論。教材P104拓展探究中講到：背景相類似的問題：半徑為1的圓內(nèi)，隨機取一條弦，求該弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長的概率。這就是著名的貝特朗問題，當思考問題的角度不同時，得到的概率是不同的。對于一個幾何概型，通常概率為測度之比。常見測度
2、有：長度、角度、面積、體積。對于一個圓顯然用不到體積。下面就分別從長度、角度和面積方面去考慮。在解決這個問題之前還需要弄明白一個問題：就是如何去確定這條弦。因為這個問題能直接影響到我們采用哪個測度進行計算。要確定弦，其實就是找出弦的兩個端點的位置。第一種方法：首先確定一個點，將其視為定點，而另外一個點的位置不定。那么就轉(zhuǎn)化成如下圖的情形。那么P點的位置可以由的長度決定P點本來可以在圓上任意位置。則D測度為，要使弦長大于圓內(nèi)接正三角形的邊長，則P點只能在上，則d測度為，故P（弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長）。對于這種方法，有個問題，就是點A其實并不
3、是固定的，他與B點一樣是動點。所以這種方法盡管很有道理，但是不是正確的方法。第二種方法：確定一個點，以該點做圓的切線，然后依然以該點為端點做射線，則射線與圓相交的部分則為弦如下圖所示：射線AP與圓交于P點。則D測度為，d測度為，故P（弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長）。第二種方法與第一種方法類似的漏洞，就是這個A點，應該是動點，這邊卻將其固定。這種做法依然不妥。第三種方法：在解析幾何中常用的方法：直線與圓相交，通常用半徑、半弦長、弦心距這個特殊的直角三角形的幾何法進行考慮。對于弦來說，半徑和弦心距是定值，所以這個弦的半弦長就確定，即弦長確定。反過來
4、，當弦心距定，則弦長也定。所以，弦長可以由該弦的弦心距來唯一確定。于是有下面這種方法。于是D區(qū)域為大圓，d即為小圓，則：P（弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長）下面來看看這個過程，好像也是蠻有道理的，很多人也認同這種做法。但是仔細看看好像出問題了。原因是，一個點的確是可以確定弦，但是有一個特殊點不是這樣的。圓心，很明顯，除圓心以外的點，與弦心距垂直的弦是唯一的。但是過圓心的弦是無限多的。如果前面兩種方法還說得過去，這種方法是錯誤的。它已經(jīng)違背了概率的基本要求，那就是等可能。沒有等可能作為前提，求出的概率是不正確的。當然，有人提出單獨的一個圓心是沒有測
5、度的，所以我們可以把兩個區(qū)域中的圓心都去掉，于是依然可以得到這個結(jié)果，這樣解釋也就合理多了。再來看第四種方法：任取一弦AB，作垂直于AB的直徑PQ。過點P作等過三角形，交直徑于N，并取OP的中點M：容易證明QN=NO=OM=MP。我們知道，弦長與弦心距有關(guān)。一切與PQ垂直的弦，如果通過MN線段的，其弦心距均小于ON，則該弦長度就大于等邊三角形邊長，故所求概率P（弦長度超過圓內(nèi)接正三角形的邊長）。我們可以發(fā)現(xiàn)，這個問題中采用的是做任意一條直徑PQ的平行弦的方法。由于圓是一個高度對稱的圖形，我們將所有等長的弦都轉(zhuǎn)化到與直徑垂直的情況。貌似可以。但是也
6、有個致命傷。這個傷與方法三有驚人的相似。就是過圓心的弦，也就是直徑。由于直徑是無限多的，所以考慮問題時，忽略了等可能這個前提。同樣地我們也可以效仿方法三：將過圓心的直線去掉，就可以解釋這個結(jié)果。當然。前面的每一種方法都有其優(yōu)秀的方面也有其局限性。至于三與四的改進方法是否真的合理，并沒有定論。介于以上原因，我們是否可以考慮：既然是弦，弦是由兩個端點所決定的，那么我們是否可以用兩個端點來解決問題？首先在圓上隨機取一點P，而圓上其余各點的位置按順時針方向在內(nèi)相應增長如圖：設(shè)A、B在圓周上的位置分別是，則，當且僅當那么用表示每次實驗的結(jié)果，如下圖：則所有
7、基本事件構(gòu)成正方形區(qū)域，其中陰影部分為事件構(gòu)成的區(qū)域，符合幾何概型條件，故。對于這種方法，被大多數(shù)人所認可。因為它將在圓周上選取兩點視為等可能事件，從而以面積作為測度，應用幾何概型理論得出答案；此法是從題目中的原始條件出發(fā)，沒有進行等價轉(zhuǎn)化，不易出錯，算作一種通法；然而用通法解題往往比較復雜，況且本題中還涉及到兩個變元，計算過程顯得不夠簡便。這是沒有規(guī)定概率論基礎(chǔ)的問題。他的問題提出本身是不嚴密的。在高中教育中應該盡可能的避免出現(xiàn)這種不嚴密的題設(shè)條件。本人在上課的過程中提出了兩個類似的問題，將貝特朗問題細化，強化前提條件，其一：在半圓中，做平行于
8、直徑的弦；其二：在圓中，過定點A作弦。那么問題就很明確，就能得到正確的結(jié)果了。當然，這個問題是作為拓展探究題出現(xiàn)的，本身就是讓學生拓展思
