貝朗特悖論的解決.doc

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1、理學(xué)院SchoolofScience課程設(shè)計(jì)報(bào)告學(xué)生姓名：李凡學(xué)生學(xué)號(hào)：所在班級(jí)：07數(shù)學(xué)1所在專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：樊嶸實(shí)習(xí)場(chǎng)所：青島理工大學(xué)實(shí)習(xí)時(shí)間：第六學(xué)期課程設(shè)計(jì)成績(jī)總評(píng)學(xué)習(xí)態(tài)度報(bào)告質(zhì)量使用SAS統(tǒng)計(jì)模擬方法解決Bertrand’sparadoxBertand’sparadox是法國(guó)數(shù)學(xué)家Bertrand于1889提出的一個(gè)概率悖論：在圓內(nèi)任作一弦，其長(zhǎng)度超過圓內(nèi)內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率是多少？他在提出問題之后，給出了三種不同的解法，得到了三個(gè)不同的結(jié)果，是為悖論。第一種解法如下：

2、由于弦交圓于兩點(diǎn)。我們先固定弦的一個(gè)端點(diǎn)。以此端點(diǎn)作一個(gè)等邊三角形(如圖)。顯然，只有穿過此三角形內(nèi)的弦才符合要求。而符合條件的弦的另一端正好占整個(gè)圓弧的1/3。并且，不論固定的那個(gè)端點(diǎn)在圓上的哪個(gè)位置，情況都是一樣的。所以結(jié)果為1/3。第二種解法如下：由于弦長(zhǎng)只和圓心到它的距離有關(guān)。所以固定圓內(nèi)一條半徑。當(dāng)且僅當(dāng)圓心到它的距離小于1/2才滿足條件。并且，不論固定的是哪條半徑，情況都是一樣的。所以結(jié)果為1/2。第三種解法如下；弦被其中點(diǎn)唯一確定（除了圓心）。當(dāng)且僅當(dāng)其中點(diǎn)在半徑為1/2的圓內(nèi)時(shí)才

3、滿足條件。此小圓面積為大圓的1/4。所以結(jié)果為1/4。三種看似都有道理的解法卻得到了不同的答案，所以被稱為悖論。在以前對(duì)這問題的分析中，傾向于認(rèn)為得到三種結(jié)果的原因是因?yàn)椴捎昧瞬煌牡瓤赡苄约俣?。解法一假定端點(diǎn)在圓上均勻分布。解法二假定半徑在圓內(nèi)均勻分布以及弦的中點(diǎn)在半徑上均勻分布。解法三假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布。先不論他們的假設(shè)是否合理，從這個(gè)問題的提法來看，問題考察的是圓內(nèi)的隨機(jī)弦問題。我們應(yīng)該從弦的本質(zhì)定義出發(fā)，即圓上任意兩點(diǎn)的連線為弦。從這個(gè)思路，我們可以使用SAS進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬，確定問

4、題的答案。具體思路如下：1.先進(jìn)行1000次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)進(jìn)行1000次模擬，每次模擬從圓上隨機(jī)取兩點(diǎn)，計(jì)算距離，記錄的次數(shù)。如此得到1000個(gè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)集為cs，其中的變量只有一個(gè)x。對(duì)此數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到其方差與均值，可以求出概率。2.為了得到弦長(zhǎng)的分布，我們進(jìn)行1000次模擬，每次模擬從圓上隨機(jī)取兩點(diǎn)，計(jì)算距離并記錄。如此得到數(shù)據(jù)集為strx，其中的變量有三個(gè)，分別記錄兩點(diǎn)的角度參數(shù)x，y與兩點(diǎn)之間距離d。3.從圓進(jìn)行推廣，得到橢圓內(nèi)隨機(jī)弦長(zhǎng)的分布，思路同上。4.從得到的結(jié)果進(jìn)行理論分析。

5、數(shù)據(jù)的得到與數(shù)據(jù)集的建立：使用matlab編程可以得到模擬需要的數(shù)據(jù)，在SAS中建立各數(shù)據(jù)集的程序如下：cs數(shù)據(jù)集：Datalf.cs;Inputx@@;/*x為1000中滿足條件的弦的個(gè)數(shù)*/Cards;331329346337333338355348319328333341318315349307320327337371353341325348329323332319316341341348340312353330335317318315341334318358346351362353290

6、332368335359346……；strx數(shù)據(jù)集：Datalf.strx；Inputxyz；/*x，y為隨機(jī)角度，z為弦長(zhǎng)*/Cards；5.11915.69130.564420.797885.73891.24373.97320.612861.9881.74993.43621.49356.01626.06260.……；；strx1數(shù)據(jù)集：Datalf.strx1；/*橢圓的數(shù)據(jù)*/Inputxyz；/*x，y為隨機(jī)角度，z為弦長(zhǎng)，長(zhǎng)軸為2，短軸為1*/Cards；4.68015.60631.1

7、0261.52430.814280.839511.41412.19920.825351.80385.82763.04310.322413.72382.4873……；對(duì)數(shù)據(jù)的分析與結(jié)果解讀：對(duì)于cs數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)，我們根據(jù)林德貝格-勒維中心極限定理，記xn為第n次試驗(yàn)中，滿足弦長(zhǎng)平方大于3的弦的個(gè)數(shù)，則不管xn的分布如何，只要n充分大，就可以用正態(tài)分布去逼近。于是我們先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，使用Solutions-Analysis-GuidedDataAnalysis，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到下面的結(jié)

8、果：圖1圖2從圖2中可以看到數(shù)據(jù)的均值為333.89，標(biāo)準(zhǔn)偏差為14.7。其中Q1，與Q3分別為四分之一和四分之三分位。P：normal=0.25025為正態(tài)性檢驗(yàn)的概率值。圖1為數(shù)據(jù)直方圖與正態(tài)曲線，圖3為正態(tài)概率檢驗(yàn)圖，從兩個(gè)圖可以看出來，數(shù)據(jù)是服從正態(tài)分布的。且可以估計(jì)其期望為334次，于是可以得到結(jié)論，圓內(nèi)隨機(jī)弦長(zhǎng)度大于圓內(nèi)內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)長(zhǎng)度的概率為334/1000=1/3。對(duì)于strx數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)，我們的目的是得到弦長(zhǎng)的分布，即繪制其密度函數(shù)曲線和分布函數(shù)的曲線。首先是對(duì)弦長(zhǎng)數(shù)據(jù)的