貝特朗概率悖論的解釋

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1、貝特朗概率悖論的解釋貝特朗概率悖論是一個(gè)著名的悖論題，與其他的集合悖論不一樣，這個(gè)悖論只是我們看起來(lái)“錯(cuò)”而已，也并沒(méi)有像集合悖論一樣帶來(lái)一次數(shù)學(xué)危機(jī)，正確審視它，就是讓我們對(duì)“幾何概型”這一概念更加地深入了解而已。我就不廢話，我們直接來(lái)看什么是貝特朗概率悖論，百度上有很多，隨便一搜就到處都是題目是這樣子滴：在圓中做弦MN，求使MN的長(zhǎng)大于圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率。這道題若從不同的角度看，就有幾種不同的答案，百度百科里有，我就不想在這里多費(fèi)口舌，希望各位先到那里去看看具體的答案，我把圖片下載下來(lái)，大家可以自己看：百度百科詞條解釋雖然這多種解法各有各得說(shuō)法，似乎每一個(gè)都對(duì)，但是悖

2、論畢竟是悖論，他終究是錯(cuò)的。概率問(wèn)題一個(gè)基本的原則就是，不管從哪個(gè)角度看，答案只能有一個(gè)，否則一件事情的概率都不一致，這問(wèn)題要么就是本身就有問(wèn)題，要么就是條件不夠。而對(duì)于貝特朗概率悖論所涉及到的問(wèn)題，正是如此，因?yàn)槠錀l件不夠。首先我們看第一種“解法”。解法1的思路是，在于AB平行的弦中，只有與PQ交點(diǎn)落在MN上的，弦長(zhǎng)才大于根號(hào)3。弦與PQ的交點(diǎn)肯定就是落在PQ上的，而NM=1/2PQ，所以此時(shí)概率為1/2.這個(gè)解法其實(shí)有一個(gè)重要前提，那就是弦與PQ的交點(diǎn)在PQ上是均勻分布的。正正是題目中所缺乏的條件，因?yàn)閳A中任意的弦，這到底怎么個(gè)做法？是像這種解法所說(shuō)的，使其與PQ交點(diǎn)在PQ

3、上均勻分布么？還是使弦與圓周的交點(diǎn)是任意分布？如果滿足后者，就不可能滿足前者，滿足前者，就不可能滿足后者。一個(gè)比較明顯的說(shuō)法就是：做幾條平行弦，使其在PQ上均勻分布，也就是相互之間的距離相等，我們可以看見(jiàn)，這些弦之間的弧長(zhǎng)并不相等，也就是說(shuō)，在PQ上均勻分布，一定不會(huì)在圓周上均勻分布。原題中沒(méi)有給出這樣的條件，解法1加了這么一個(gè)條件，顯然就有不一樣的結(jié)果了。再看解法2.解法2的思路是，鏈接OA，在OA兩邊做弦AM和AN，使其和AO的夾角為30°。在圓中所有的弦中，只有當(dāng)B點(diǎn)落在弧MN上時(shí)，才滿足條件，而MN的弧長(zhǎng)占據(jù)整個(gè)弧長(zhǎng)的1/3，所以概率為1/3看了解法1，你就知道這個(gè)解法

4、的原因所在了，他正是采用了在圓周上均勻分布這一條件得出的結(jié)果。最后看解法3解法3的思路是，在圓中任意取一點(diǎn)M，只有當(dāng)OM<1/2的時(shí)候，以M點(diǎn)為位中點(diǎn)的弦才滿足條件，故滿足條件的M點(diǎn)只能分布于以O(shè)為圓心，半徑為1/2的圓中，而該圓的面積占據(jù)大圓的1/4，故概率為1/4.學(xué)夫子自己的看法來(lái)說(shuō)，這種解法最牽強(qiáng)，他將弦的分布劃歸為其中點(diǎn)在圓中的分布，認(rèn)為“一個(gè)中點(diǎn)M只對(duì)應(yīng)于一條弦”，顯然這是錯(cuò)誤的，因?yàn)閳A心O所對(duì)應(yīng)的弦有無(wú)數(shù)條，而對(duì)于非圓心的點(diǎn)M，以M為中點(diǎn)的弦只有一條。所以這本身就不是等可能的，這種解法就是錯(cuò)誤，他就跟前兩種解法不一樣，加上條件就是對(duì)的，這種解法無(wú)論加什么條件都是錯(cuò)

5、的，因?yàn)椴皇菞l件缺與不缺的問(wèn)題，而是犯了概率論中最基本的前提錯(cuò)誤——等可能分布。不過(guò)網(wǎng)絡(luò)上更傾向于第二種方法的答案作為這道題的“標(biāo)準(zhǔn)答案”，因?yàn)槿我饨o一條弦，他應(yīng)該由圓周上的兩點(diǎn)決定。文章來(lái)源：學(xué)夫子數(shù)學(xué)博客