圓錐曲線中的最值和范圍問題講解

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1、圓錐曲線中的最值和范圍問題一、【基礎(chǔ)考點(diǎn)】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題在高考中突出考試的知識點(diǎn):(1)圓錐曲線的定義和方程；（2）點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系；特別是點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程；（3）a、b、c、p、e的幾何意義及相關(guān)關(guān)系；（4）二次函數(shù)、均值不等式及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?；A(chǔ)自測：1．已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(C)A.(1,2)B.(1,2)C.D.(2,+∞)2．P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋

2、y2＝1上的點(diǎn)，則

3、PM

4、－

5、PN

6、的最大值為（D）A.6B.7C.8D.93．拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是(A)A．B．C．D．4．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且

7、PF1

8、=4

9、PF2

10、,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（B）(A)(B)(C)(D)5．已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是.326．對于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q，點(diǎn)P（a，0）都滿足

11、PQ

12、≥

13、a

14、，則a的取值范圍是(B)（A

15、）（－∞，0）（B）（－∞，2（C）［0，2］（D）（0，2）二、【方法歸納】與圓錐曲線有關(guān)的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。6（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要創(chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)

16、的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價值在于：①通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；（6）構(gòu)造一個二次方程，利用判別式D30。典型例題【例1】已知點(diǎn)M(-2，0)，N(2,0)，動點(diǎn)P滿足條件.記動點(diǎn)的軌跡為W.（Ⅰ）求W的方程；（Ⅱ）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（Ⅰ）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為：（x>0）（Ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x＝x0，此時A（

17、x0，），B（x0，－），＝2當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：(1－k2)x2－2kbx－b2－2＝0依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則解得

18、k

19、>1，又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2綜上可知的最小值為2【例2】已知P點(diǎn)在圓x2+(y-2)2=1上移動，Q點(diǎn)在橢圓上移動,試求

20、PQ

21、的最大值。解：故先讓Q點(diǎn)在橢圓上固定，顯然當(dāng)PQ通過圓心O1時

22、PQ

23、最大，因此要求

24、PQ

25、的

26、最大值，只要求

27、O1Q

28、的最大值.設(shè)Q(x，y)，則

29、O1Q

30、2=x2+(y-4)2①因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2)②將②代入①得

31、O1Q

32、2=9(1-y2)+(y-4)2因?yàn)镼在橢圓上移動，所以-1￡y￡1，故當(dāng)時，此時6【點(diǎn)睛】1.與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視?！纠?】長度為（）的線段的兩個端點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動，點(diǎn)在線段上，且（為常數(shù)且）．（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡類型；（2）當(dāng)=2時，已知

33、直線與原點(diǎn)O的距離為，且直線與軌跡有公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．答案：(1)設(shè)、、，則，由此及，得，即（*）①當(dāng)時，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，長軸長為的橢圓．②當(dāng)時，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為，長軸長為的橢圓．③當(dāng)時，方程（*）的軌跡是焦點(diǎn)為以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．（2）設(shè)直線的方程：，據(jù)題意有，即．由得．因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以又把代入上式得：．6【例4】橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，其離心率,過點(diǎn)C（－1,0）的直線與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足點(diǎn)C分向量的比為2.（1）用直線的斜率k(k≠0)表示△OAB的面積；（2）當(dāng)△OAB

34、的面積最大時，求橢圓E的方程。解：（1）設(shè)橢圓E的方程為(a＞b＞0)，由e=∴a2=3b2故橢圓方程x2+3y2=3b2