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1、第十九講圓錐曲線中的最值和范圍問題★★★高考在考什么【考題回放】1.已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是(C)A.(1,2)B.(1,2)C.D.(2,+∞)2.P是雙曲線的右支上一點,M、N分別是圓(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的點,則
2、PM
3、-
4、PN
5、的最大值為(D)A.6B.7C.8D.93.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是(A)A.B.C.D.4.已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線的右支上,且
6、PF1
7、=
8、4
9、PF2
10、,則此雙曲線的離心率e的最大值為:(B)(A)(B)(C)(D)5.已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則y12+y22的最小值是32.6.對于拋物線y2=4x上任意一點Q,點P(a,0)都滿足
11、PQ
12、≥
13、a
14、,則a的取值范圍是(B)(A)(-∞,0)(B)(-∞,2(C)[0,2](D)(0,2)★★★高考要考什么【熱點透析】與圓錐曲線有關的最值和范圍問題的討論常用以下方法解決:(1)結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系;(2)不等式(組)求解法:利用題意結合圖形(如點在曲線內等)列出所討論的
15、參數(shù)適合的不等式(組),通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍;(3)函數(shù)值域求解法:把所討論的參數(shù)作為一個函數(shù)、一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個函數(shù),通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍。(4)利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應用,往往需要創(chuàng)造條件,并進行巧妙的構思;(5)結合參數(shù)方程,利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程,它們的一個共同特點是均含有三角式。因此,它們的應用價值在于:①通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點的坐標;②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題;(6)構造一個二次方程,利用判別式D30。★★★突破重難點【例1】已知點M
16、(-2,0),N(2,0),動點P滿足條件.記動點的軌跡為W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)若A,B是W上的不同兩點,O是坐標原點,求的最小值.解:(Ⅰ)依題意,點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支,所求方程為:(x>0)(Ⅱ)當直線AB的斜率不存在時,設直線AB的方程為x=x0,此時A(x0,),B(x0,-),=2當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+b,代入雙曲線方程中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根,設A(x1,y1),B(x2,y2),則解得
17、k
18、>1,又=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
19、b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=>2綜上可知的最小值為2【例2】給定點A(-2,2),已知B是橢圓上的動點,F(xiàn)是右焦點,當取得最小值時,試求B點的坐標。解:因為橢圓的,所以,而為動點B到左準線的距離。故本題可化為,在橢圓上求一點B,使得它到A點和左準線的距離之和最小,過點B作l的垂線,垂點為N,過A作此準線的垂線,垂點為M,由橢圓定義于是為定值其中,當且僅當B點AM與橢圓的定點時等點成立,此時B為所以,當取得最小值時,B點坐標為【例3】已知P點在圓x2+(y-2)2=1上移動,Q點在橢圓上移動,試求
20、PQ
21、的最大值。解:故先讓Q點在橢
22、圓上固定,顯然當PQ通過圓心O1時
23、PQ
24、最大,因此要求
25、PQ
26、的最大值,只要求
27、O1Q
28、的最大值.設Q(x,y),則
29、O1Q
30、2=x2+(y-4)2①因Q在橢圓上,則x2=9(1-y2)②將②代入①得
31、O1Q
32、2=9(1-y2)+(y-4)2因為Q在橢圓上移動,所以-1£y£1,故當時,此時【點睛】1.與圓有關的最值問題往往與圓心有關;2.函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法,其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等,值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視?!纠?】已知橢圓的一個焦點為F1(0,-2),對應的準線方程為,且離心率e滿足:成等差數(shù)列。(1)求
33、橢圓方程;(2)是否存在直線l,使l與橢圓交于不同的兩點M、N,且線段MN恰被直線平分,若存在,求出l的傾斜角的范圍;若不存在,請說明理由。(1)解:依題意e,∴a=3,c=2,b=1,又F1(0,-2),對應的準線方程為∴橢圓中心在原點,所求方程為(2)假設存在直線l,依題意l交橢圓所得弦MN被平分∴直線l的斜率存在。設直線l:y=kx+m由消去y,整理得(k2+9)x2+2kmx+m2-9=0∵l與橢圓交于不同的兩點M、N,∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0即m2-k2-9<0①設M(x1,y1),N(x2,y2)②把②