專題六第2講率、隨機變量及其分布列

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1、第2講　概率、隨機變量及其分布列自主學習導引真題感悟1．(2012·北京)設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是A.　　　B.C.　　　D.解析　如圖，平面區(qū)域D是面積為4的正方形，D內(nèi)到坐標原點的距離大于2的點所組成的區(qū)域為圖中陰影部分，其面積為4－π，故此點到坐標原點的距離大于2的概率為，故選D.答案　D2．(2012·山東)現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設該射手完成以上

2、三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學期望EX.解析　(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.由題意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，由于A＝B＋C＋D，根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(A)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)＝××＋＋×＋××＝.(2)根據(jù)題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(X＝0)＝P(

3、)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝××＝.P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P()＝××＝，P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝××＋××＝，P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD)＝××＋××＝，P(X＝4)＝P(CD)＝××＝，P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.故X的分布列為X012345P所以EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.考題分析本部分內(nèi)容的基礎是概率，高考試題中無論是以古典概型為背景的分布列，還是以獨立重復試驗為背景的分布列，都要求計算概率．解此類問題的一個難點是正確的理解題意，需特別注意．網(wǎng)絡構(gòu)建高頻

4、考點突破考點一：古典概型與幾何概型【例1】(1)(2012·衡水模擬)盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個紅球和2個白球，從中隨機取出一個記下顏色后放回，當紅球取到2次時停止取球．那么取球次數(shù)恰為3次的概率是A.　　　B.C.　　　D.(2)(2012·海淀二模)在面積為1的正方形ABCD內(nèi)部隨機取一點P，則△PAB的面積大于等于的概率是________．[審題導引]　(1)解題的關鍵是理解題意，應用計數(shù)原理與排列組合公式計算基本事件的個數(shù)；(2)首先找到使△PAB的面積等于的點P，然后據(jù)題意計算．[規(guī)范解答]　(1)設事件“取球次數(shù)恰為3次”為事件A，則P(A)＝＝.2)如圖

5、所示，設E、F分別是AD、BC的中點，則當點P在線段EF上時，S△PAB＝，要使S△PAB＞，需點P位于矩形EFCD內(nèi)，故所求的概率為：P(A)＝＝＝.[答案]　(1)B　(2)【規(guī)律總結(jié)】解答幾何概型、古典概型問題時的注意事項(1)有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關知識．(2)在求基本事件的個數(shù)時，要準確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性．(3)當構(gòu)成試驗的結(jié)果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解．(4)利用幾何

6、概型求概率時，關鍵是構(gòu)成試驗的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域．【變式訓練】1．(1)(2012·石景山一模)如圖，圓O：x2＋y2＝π2內(nèi)的正弦曲線y＝sinx與x軸圍成的區(qū)域記為M(圖中陰影部分)，隨機往圓O內(nèi)投一個點A，則點A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是________．解析　陰影部分的面積為S陰＝2sinxdx＝－2cosx＝4，故P＝＝答案　2．(2012·廣州模擬)從3名男生和n名女生中，任選3人參加比賽，已知3人中至少有1名女生的概率為，則n＝________.解析　據(jù)題意知，所選3人中都是男生的概率為，∴至少有1名女生

7、的概率為1－＝，∴n＝4.答案　4考點二：相互獨立事件的概率與條件概率【例2】(1)甲射擊命中目標的概率為，乙射擊命中目標的概率為，當兩人同時射擊同一目標時，該目標被擊中的概率為A.B．1C.D.(2)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B

8、A)＝A.B.C.D.[審題導引]　(1)把事件“目標被擊中”分解為三個互斥事件求解；(2)據(jù)古典概型的概率分別求出P(A)與P(AB)，然后利用公式求P(B

9、A)．[規(guī)范解答]　(1)