【中考試題研究題庫(kù)】數(shù)學(xué)：幾何動(dòng)態(tài)探究問題——雙動(dòng)點(diǎn)

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1、幾何動(dòng)態(tài)探究問題—雙動(dòng)點(diǎn)1.如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC＝2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線BC運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，過點(diǎn)Q作QE⊥BD，交直線BD于點(diǎn)E，連接AP、AE、PE、QE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）請(qǐng)直接寫出動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形APQD是什么四邊形？（2）請(qǐng)判斷AE，PE之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；（3）設(shè)△EPB的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）直接寫出△EPQ的面積是△EDQ面積的2倍時(shí)t的值．第1題圖解：（1）四邊形APQD是平行四邊

2、形；【解法提示】∵四邊形ABCD是正方形，P、Q速度相同，∴∠ABE＝∠EBQ＝45°，AD∥BQ，AD＝BC＝2，BP＝CQ，∴BC＝AD＝PQ，∴四邊形APQD是平行四邊形.（2）AE＝PE，AE⊥PE；理由如下：∵EQ⊥BD，∴∠PQE＝90°?45°＝45°，∴∠ABE＝∠EBQ＝∠PQE＝45°，∴BE＝QE，在△AEB和△EPQ中，，∴△AEB≌△EPQ（SAS），∴AE＝PE，∠AEB＝∠PEQ，∴∠AEP＝∠BEQ＝90°，∴AE⊥PE；（3）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，如解圖①所示：BQ＝t＋2，EF＝，∴y＝××t，即y＝；第1題解圖①

3、?。?）△EPQ面積是△EDQ面積的2倍時(shí)t的值為1或3.【解法提示】分兩種情況：①當(dāng)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，作PM⊥QE于M，如解圖②所示：第1題解圖②∵PQ＝2，∠BQE＝45°，∴PM＝PQ＝，BE＝QE＝BQ＝（t＋2），∴DE＝BE?BD＝（t＋2）?2＝t-,∵△EPQ的面積是△EDQ面積的2倍，∴×（t＋2）×＝2×（t?）×（t＋2），解得t＝3或t＝?2（舍去），∴t＝3；②當(dāng)P在BC邊上時(shí)，解法同①，此時(shí)DE＝-t，∵△EPQ的面積是△EDQ面積的2倍，∴×（t＋2）×＝2×（-t）×（t＋2），解得：t＝1或t＝?2（舍去），∴t＝1；

4、綜上所述，△EPQ的面積是△EDQ面積的2倍時(shí)t的值為：1或3．2.如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB?BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在AB上以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，在BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求線段AQ的長(zhǎng)；（用含t的代數(shù)式表示）（2）連接PQ，當(dāng)PQ與△ABC的一邊平行時(shí)，求t的值；（3）如圖②，過點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，以PE，EQ為鄰邊作矩形PEQF，點(diǎn)D為

5、AC的中點(diǎn)，連接DF．設(shè)矩形PEQF與△ABC重疊部分圖形的面積為S．①當(dāng)點(diǎn)Q在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；②直接寫出DF將矩形PEQF分成兩部分的面積比為1：2時(shí)t的值．　　　　　　　　　　第2題圖解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝＝8，∵點(diǎn)Q在CA上，以每秒個(gè)單位移動(dòng)，∴CQ＝t，∴AQ＝AC-CQ=8?t．（2）∵P點(diǎn)從AB-BC總時(shí)間=4s,∵點(diǎn)P在AB或BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在AC上，∴PQ不可能與AC平行，①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，則PQ//BC，此時(shí)，即，解得t=;②當(dāng)點(diǎn)P在BC上,此時(shí)

6、PQ//AB，∴，即，解得t＝3s，綜上所述，t＝s或3s時(shí)，PQ與△ABC的一邊平行；（3）①∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴CD=4，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，＝4，解得t＝3，點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，＝AC＝8，得t＝，分三種情況討論如下：（i）點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合時(shí)，t＝AC＝8，得t＝，當(dāng)0≤t≤，此時(shí)矩形PEQF在△ABC內(nèi)，如解圖①所示，∵AP＝5t，易得AE＝4t，PE＝3t，∴EQ＝AQ－AE＝8－t－4t＝8－t，∴S＝PE×EQ＝3t（8－t）＝－16t２＋24t；　　　　　　　　　　　第２題解圖（ii）點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，5t＝10，得t＝2，當(dāng)≤t≤2時(shí)，如

7、解圖②所示，設(shè)QF交AB與T，則重疊部分是矩形PEQF的面積減去△PFT的面積．∵AQ＝8－t，∴QT＝AQ=（8－t）=6-t，∴FT=PE-QT=3t-(6-t)=4t-6,EQ=AE-AQ=4t-(8-t)=t-8,∴S=PE·EQ-EQ·Ft=3t·（t-8)-·（t-8)（4t-6）=t2+8t-24；(iii)當(dāng)2

8、8）＝8－t，F(xiàn)T＝FR＝6－2t．∴S＝PT×QC－FR·FT＝（12－3t）