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《平面幾何中線段相等的幾種證明方法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、平面幾何中線段相等的證明幾種方法李忠興平面幾何中線段相等的證明看似簡單，但方法不當也會帶來麻煩，特別是在有限的兩個小時考試中。恰當選用正確的方法，可取得事半功倍的效果。筆者在教學中總結(jié)了幾種方法，供中學生讀者參考。一、利用全等三角形的性質(zhì)證明線段相等這種方法很普遍，如果所證兩條線段分別在不同的三角形中，它們所在三角形看似全等，或者，通過簡單處理，它們所在三角形看似全等，可考慮這種方法。［例1］如圖，C是線段AB上一點，△ACD和△BCE是等邊三角形。求證：AE=BD。證明∵△ACB和△BCE都是等邊三角形∴∠ACD=60°，∠BCE=60°，∠D
2、CE=60°∴∠ACE=∠ACD＋∠DCE=120°∠BCD=∠BCE＋∠DCE=120°∴AC=CD，CE=CB∴△ACE≌△DCB（SAS）∴AE=DB［例2］如圖，已知△ABC中，AB=AC，點E在AB上，點F在AC的延長線上，且BE=CF，EF與BC交于D，求證：ED=DF。7證明：過點E作EG//AF交BC于點G∴∠EGB=∠ACB，∠EGD=∠FCD∵AB=AC∴∠B=∠ACB，∠B=∠FGB，BE=GE∵BE=CF，∴GE=CF在△EGD和△FCD中，∠EGD=∠FCD，∠EDG=∠FDC，GE=CF∴△EGD≌△FCD（AAS）∴
3、ED=FD二、利用等腰三角形的判定（等角對等邊）證明線段相等如果兩條所證線段在同一三角形中，證全等一時難以證明，可以考慮用此法。［例1］如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點，且BE=AC，延長BE交AC于F。求證：AF=EF。證明：延長AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG?！逜D=GD，∠ADC=∠GDB，CD=BD∴△ADC≌△GDB∴AC=GB，∠FAE=∠BGE∵BE=AC∴BE=BG，∠BGE=∠BEG∴∠FAE=∠BGE=∠BEG=∠AEF7∴AE=EF［例2］如圖，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF
4、與AC交于E，與BA的延長線交于D，求證：AD=AE。證明：∵DF⊥BC∴∠DFB=∠EFC=90°，∠D=90°－∠B，∠CEF=90°－∠C∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠D=∠CEF∵∠CEF=∠AED∴∠D=∠AED∴AD=AE三、利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等如果所證兩線段在一直線上或看似平行，用上面的方法不易，可以考慮此法。［例1］如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作正△ABE和正△ACD，DE與AB交于F，求證：EF=FD。證明：過D作DO⊥AC交AB于點O∵OD垂直平分AC，∠ACB
5、=90°∴BC⊥AC∴O點必為AB的中點，連結(jié)EO，則EO⊥AB7∵∠CAB=30°，∠BAE=∠CAD=60°∴AD⊥AB，AE⊥AC∴OE//AD，AE//OD∴四邊形ODAE為平行四邊形∴EF=FD［例2］如圖，AD是△ABC的中線，過DC上任意一點F作EG//AB，與AC和AD的延長線分別交于G和E，F(xiàn)H//AC，交AB于點H。求證：HG=BE。證明：延長AD到A'，使DA'=AD又∵BD=CD∴四邊形BACA'是平行四邊形∴BA=A'C由題設(shè)可知HFGA也是平行四邊形∴HF=AG∵HF//AC，∴又∵，HF=AG，BA=A'C∴BH=E
6、G∴四邊形BEGH是平行四邊形∴HG=BE四、利用中位線證明線段相等如果已知中含有中點或等邊等，用上面方法較難，可以考慮此法。［例1］如圖，以△ABC的邊AB、AC為斜邊向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠7ABD=∠ACE，M是BC的中點。證明：DM=EM。證明：延長BD至F，使DF=BD。延長CE到G，使EG=CE，連結(jié)AF、FC，連結(jié)AG、BG∵BD=FD，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD∴Rt△ABD≌Rt△AFD∴∠BAD=∠FAD同理可得：∠CAE=∠GAE∵∠ABD=∠ACE∴∠FAB=∠GAC，故∠FAC=∠GAB在△AB
7、G和△AFC中，AB=AF，∠GAB=∠CAF，AG=AC∴△ABG≌△AFC∴BG=FC又∵DF=DB，EC=EG，M是BC的中點∴DM==EM，即DM=EM［例2］如圖，△ABC中，∠C為直角，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作正△ABE與正△ACD，DE與AB交于F。求證：EF=FD。證明：過D作DG//AB交EA的延長線于G，可得∠DAG=30°∵∠BAD=30°＋60°=90°7∴∠ADG=90°∵∠DAG=30°=∠CAB，AD=AC∴Rt△AGD≌Rt△ABC∴AG=AB，∴AG=AE∵DG//AB∴EF//FD五
8、、利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明線段相等。如果所證兩線段所在的圖形能構(gòu)成直角三角形，并且可能構(gòu)成斜邊及斜邊上的中線，用
